为什么利用脉冲响应不变法设计数字滤波器，设计结果与采样周期无关

利用脉冲响应不变法设计数字滤波器时，会将模拟滤波器的频率响应通过变换计算出数字滤波器的频率响应。由于脉冲响应不变法是一种线性时不变系统的等效方法，因此设计结果不受采样周期的影响。只要模拟滤波器的频率响应及其参数确定后，通过脉冲响应不变法计算得到的数字滤波器的频率响应也是确定的，与采样周期无关。

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脉冲响应不变法结果为什么和采样周期无关

脉冲响应不变法是一种数字信号处理方法，其原理是在模拟信号经过抽样和保持后，通过将模拟信号离散化为数字信号，利用数字滤波算法实现信号处理操作。

在脉冲响应不变法中，模拟信号经过抽样和保持后得到的离散信号要经过数字滤波器，而数字滤波器的参数和输入信号采样周期有关，通常是通过计算滤波器的传递函数来确定的。但是，由于在脉冲响应不变法中，滤波器的传递函数是通过模拟滤波器的脉冲响应进行计算的，因此其本质上是与信号的采样周期无关的。具体来说，脉冲响应不变法所采用的数字滤波器是通过将连续时间的脉冲响应变换为离散时间的单位脉冲响应进行计算的，因此不会受到信号采样周期的影响。

用脉冲响应不变法设计一个切比雪夫一型数值低通滤波器

首先，需要确定该切比雪夫一型数值低通滤波器的参数，包括截止频率、通带最大衰减和阻带最小衰减等。假设截止频率为$f_c=1000Hz$，通带最大衰减为$A_p=1dB$，阻带最小衰减为$A_s=40dB$。

然后，根据脉冲响应不变法的原理，将s域的传递函数$H(s)$映射到z域，可以得到数字滤波器的传递函数$H(z)$。在此过程中，需要使用双线性变换将s域映射为z域。

根据切比雪夫一型滤波器的设计公式，可以得到归一化的模拟滤波器的传递函数$H_n(s)$：

$$H_n(s)=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2C_N^2(\frac{s}{\omega_c})}}$$

其中，$C_N(x)$为N阶切比雪夫多项式，其表达式为：

$$C_N(x)=\frac{1}{2}\Big[(x+\sqrt{x^2+1})^{N}+(x-\sqrt{x^2+1})^{N}\Big]$$

$\epsilon=\sqrt{10^{0.1A_s}-1}$为阻带衰减量，$\omega_c$为截止频率。

将$s$用$\frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$代替，其中T为采样周期，得到数字滤波器的传递函数$H(z)$：

$$H(z)=\frac{1}{1+\epsilon^2C_N^2(\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}})}$$

最后，根据上式，可以得到数字滤波器的差分方程，进行程序实现。