最小二乘法三次多项式拟合matlab程序并计算误差平方和

好的，以下是最小二乘法三次多项式拟合的 Matlab 程序和计算误差平方和的方法：

假设有一组数据 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)$，要用三次多项式 $f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ 拟合这些数据，那么就需要求出系数 $a_3, a_2, a_1, a_0$。

首先，根据最小二乘法的原理，要使得拟合曲线和原始数据的误差平方和最小，等价于求解一个最小化误差平方和的问题。误差平方和的定义如下：

$$S = \sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i))^2$$

其中，$f(x_i)$ 是三次多项式在 $x_i$ 处的函数值。

接下来，需要构造系数矩阵和常数向量，通过求解线性方程组求解出系数：

$$\begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^n x_i^6 & \sum_{i=1}^n x_i^5 & \sum_{i=1}^n x_i^4 & \sum_{i=1}^n x_i^3 \\
\sum_{i=1}^n x_i^5 & \sum_{i=1}^n x_i^4 & \sum_{i=1}^n x_i^3 & \sum_{i=1}^n x_i^2 \\
\sum_{i=1}^n x_i^4 & \sum_{i=1}^n x_i^3 & \sum_{i=1}^n x_i^2 & \sum_{i=1}^n x_i \\
\sum_{i=1}^n x_i^3 & \sum_{i=1}^n x_i^2 & \sum_{i=1}^n x_i & n \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_3 \\
a_2 \\
a_1 \\
a_0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^n x_i^3 y_i \\
\sum_{i=1}^n x_i^2 y_i \\
\sum_{i=1}^n x_i y_i \\
\sum_{i=1}^n y_i \\
\end{bmatrix}$$

求出系数向量 $\mathbf{a} = [a_3, a_2, a_1, a_0]^T$ 后，就可以得到拟合曲线的方程 $f(x)$。

下面是 Matlab 程序：

% 假设有一组数据 (x, y)
% 求解最小二乘法三次多项式拟合的系数 a 和拟合曲线 f(x)

% 构造系数矩阵 A 和常数向量 b
n = length(x);
A = [sum(x.^6), sum(x.^5), sum(x.^4), sum(x.^3);
     sum(x.^5), sum(x.^4), sum(x.^3), sum(x.^2);
     sum(x.^4), sum(x.^3), sum(x.^2), sum(x);
     sum(x.^3), sum(x.^2), sum(x), n];
b = [sum(x.^3.*y); sum(x.^2.*y); sum(x.*y); sum(y)];

% 求解线性方程组 Ax=b，得到系数向量 a
a = A \ b;

% 计算拟合曲线 f(x) 在每个 x 处的函数值
f = @(x) a(1)*x.^3 + a(2)*x.^2 + a(3)*x + a(4);
y_fit = f(x);

% 计算误差平方和
S = sum((y - y_fit).^2);

其中，`x` 和 `y` 分别是输入的数据向量，`y_fit` 是拟合曲线在每个 `x` 处的函数值向量，`S` 是误差平方和。

希望能对你有所帮助！