正整数n拆分成几个不同的平方数——DFS&&打表
时间: 2023-07-31 21:10:02 浏览: 61
好的,我可以为你解答这个问题。这个问题可以使用深度优先搜索(DFS)算法来解决,同时也可以使用打表的方法。
首先,我们可以通过打表的方法,列出n在不同的情况下所需要的平方数个数:
| n | 最少平方数个数 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 1 |
| 5 | 2 |
| 6 | 3 |
| 7 | 4 |
| 8 | 2 |
| 9 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 12 | 3 |
| 13 | 2 |
| 14 | 3 |
| 15 | 4 |
| 16 | 1 |
通过观察表格,我们可以发现,对于任意正整数n,它所需要的最少平方数个数,可以通过以下的递推式计算得出:
$$
f(n)=\min_{i=1}^{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}(f(n-i^2)+1)
$$
其中,$f(n)$表示正整数n所需要的最少平方数个数,$\lfloor\sqrt{n}\rfloor$表示不大于$\sqrt{n}$的最大整数。
接下来,我们可以通过DFS算法来实现这个递推式。
具体来说,我们可以定义一个函数`dfs(n)`,它表示求解正整数n所需要的最少平方数个数。在这个函数中,我们可以首先判断n是否等于1、4或9,因为这三个数是最小的平方数。如果n是其中的一个,那么它所需要的最少平方数个数就是1。否则,我们可以遍历从1到$\lfloor\sqrt{n}\rfloor$的所有整数i,对于每个i,我们可以递归调用`dfs(n-i*i)`,并将它们的最小值加1,就可以得到n所需要的最少平方数个数。最后,我们将结果返回。
具体实现可以参考以下代码:
```python
import math
def dfs(n):
if n == 1 or n == 4 or n == 9:
return 1
res = float('inf')
for i in range(1, int(math.sqrt(n)) + 1):
res = min(res, dfs(n - i * i) + 1)
return res
n = int(input())
print(dfs(n))
```
当然,对于比较大的n,上述代码可能会超时,因此我们可以添加记忆化搜索来优化它。
完整代码如下: