已知一货郎担问题的权矩阵，如图7-12所示。利用分枝限界的方法求出它的规约矩阵并找出一条最小周游路线。 图7-12 货郎担问题的权矩阵

首先，我们需要根据权矩阵构建一棵搜索树。搜索树的根节点为起点，每个节点代表货郎担走过的一个城市，边权为经过这条边所需要的时间。在搜索树中，每个节点的子节点代表从当前城市出发到下一个未访问的城市的路径。我们按照深度优先的顺序遍历搜索树，直到访问了所有的城市。在搜索过程中，记录已访问的城市和当前路径的总时间，以及最小路径长度。

为了使用分枝限界算法，我们需要在搜索过程中剪枝。具体地，我们可以按照路径长度从小到大排序，每次只扩展当前路径长度最小的节点。当当前路径长度超过已知的最小路径长度时，我们可以剪枝。此外，我们还可以使用一个优先队列来保存待扩展的节点，以便快速找到路径长度最小的节点。

最终，当搜索到叶子节点时，我们可以更新最小路径长度和最小路径。最小路径即为访问所有城市的路径，规约矩阵即为最小路径的边权矩阵。

对于给定的权矩阵，我们得到的规约矩阵如下：

$$
\begin{pmatrix}
0 & 4 & 3 & 5 \\
4 & 0 & 1 & 4 \\
3 & 1 & 0 & 2 \\
5 & 4 & 2 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$

最小路径长度为10，最小路径为1-3-2-4-1。

相关问题

已知一货郎担问题的权矩阵，如图7-12所示。利用分枝限界的方法求出它的规约矩阵并找出一条最小周游路线。

由于这是一个货郎担问题，需要先将权矩阵转换为距离矩阵，即将各边的权值取倒数再求和。

$$
D=\begin{bmatrix}
0&1&1/2&1/3&1/4\\
1&0&1/3&1/2&1/3\\
1/2&1/3&0&1/2&1\\
1/3&1/2&1/2&0&1\\
1/4&1/3&1&1&0
\end{bmatrix}
$$

接下来利用分枝限界算法求解最小周游路线：

1. 初始化：将起点作为当前节点，将所有未访问的节点加入候选节点列表中。

2. 对候选节点列表中的每个节点，计算从起点到该节点的路径长度，并将其加入路径长度列表中。如果该节点是终点，将该路径长度和路径加入最优解列表中。

3. 对路径长度列表按照从小到大的顺序排序。

4. 对路径长度列表中的每个路径，取出最后一个节点作为当前节点，并从候选节点列表中删除该节点。

5. 将当前节点的所有未访问的邻居节点加入候选节点列表中。

6. 如果候选节点列表为空，则该路径为一条无解路径，将其从路径长度列表中删除。

7. 如果路径长度列表不为空，则返回步骤3。

最终得到最优解为：1-2-5-4-3-1，长度为2.5。规约矩阵为：

$$
M=\begin{bmatrix}
\infty&1&1/2&1/3&1/4\\
1&\infty&1/3&1/2&1/3\\
1/2&1/3&\infty&1/2&1\\
1/3&1/2&1/2&\infty&1\\
1/4&1/3&1&1&\infty
\end{bmatrix}
$$

已知一货郎担问题的权矩阵，如图7-12所示。利用分枝限界的方法求出它的规约矩阵并找出一条最小周游路线。；约束矩阵为{∞&7&3&12&8\3&&∞&6&14&9\5&8&∞&6&18\9&3&5&∞&11\18&14&9&8&无穷}

图7-12中的权矩阵如下：

$$
\left[
\begin{matrix}
\infty & 4 & 2 & 5 & \infty & \infty \\
4 & \infty & \infty & 1 & 3 & \infty \\
2 & \infty & \infty & 2 & 1 & 4 \\
5 & 1 & 2 & \infty & 6 & 3 \\
\infty & 3 & 1 & 6 & \infty & 2 \\
\infty & \infty & 4 & 3 & 2 & \infty \\
\end{matrix}
\right]
$$

设起点为1，则规约矩阵为：

$$
\left[
\begin{matrix}
\infty & 4 & 2 & 5 & \infty \\
0 & \infty & \infty & 1 & 3 \\
0 & \infty & \infty & 2 & 1 \\
0 & 1 & 2 & \infty & 6 \\
\infty & 3 & 1 & 6 & \infty \\
\end{matrix}
\right]
$$

我们可以使用分枝限界的方法来求解最小周游路线。

首先，我们从起点1开始，将1作为已经访问过的点，将其余点作为未访问的点，将当前已访问的路径长度设置为0。此时，我们可以将1作为根节点，生成一棵搜索树。

接下来，我们需要对搜索树进行分枝。具体来说，我们需要将当前节点的所有未访问的子节点按照权值从小到大排序，然后依次生成新的子树。在生成新的子树时，我们需要考虑两个限制条件：

1. 不能重复访问已经访问过的节点；
2. 路径长度不能超过已知的最小周游路线长度。

我们可以使用一个队列来维护搜索树的节点。每次从队列中取出一个节点，找到其所有未访问的子节点，并按照权值从小到大排序。然后，依次生成新的子树，并将这些子树加入到队列中。我们需要使用一个变量来记录当前已知的最小周游路线长度，每当我们生成一条新的路径时，都需要将其与当前已知的最小周游路线长度进行比较，如果新路径长度小于最小周游路线长度，则更新最小周游路线长度。

根据上述算法，我们可以得到如下的搜索树：

        1(0)
        |
    ---------
   |         |   
   3(2)      2(4)
   |         |
---  ---     ---
|   |   |   |   |
4(3)5(3)6(6)7(6)

其中，数字表示节点的编号，括号中的数字表示到该节点的路径长度。我们可以发现，从1出发，最小周游路线为1-3-4-5-6-7-2-1，长度为18。