点球大战(博弈论第二次作业
博弈论中的点球大战策略分析 在博弈论中,点球大战是一个经典的例子,展示了博弈论在决策分析中的应用。点球大战是一个静态博弈,双方参与者是罚球者和守门员。罚球者需要决定踢球的方向,是左路、中路还是右路,而守门员需要决定防守的方向,是左路还是右路。 在这种情况下,罚球者需要根据守门员的防守策略来决定自己的踢球策略。假设守门员往左防守的概率是p(r),那么罚球者的期望收益可以用以下公式表示: E左路 = p(r) × 4 + [1 - p(r)] × 9 E中路 = p(r) × 6 + [1 - p(r)] × 6 E右路 = p(r) × 9 + [1 - p(r)] × 4 根据期望收益矩阵,可以看到,当守门员往左防守的概率小于往右的概率时,罚球者往左路踢的进球机率最高。当守门员往左防守的概率等于往右的概率时,罚球者可以选择左路或右路踢球。当守门员往左防守的概率大于往右的概率时,罚球者往右路踢的进球机率最高。 因此,作为罚球者,需要根据对守门员的习惯和动作趋势的了解,判断他往左和往右的概率大小。如果判断不出往左右两边的概率大小,那么可以假设都是50%的概率,那么此时,往左路往右路踢都是可以的。 在博弈论中,这种策略被称为“最佳响应”(Best Response),也就是说,罚球者根据守门员的防守策略,选择自己的最佳踢球策略。这种策略可以帮助罚球者在点球大战中取得优势,从而增加自己的进球机率。 此外,在博弈论中还有一种策略被称为“纳什均衡”(Nash Equilibrium),它是指在博弈中,双方参与者都无法通过单方面改变策略来提高自己的收益的情况。在点球大战中,纳什均衡对应的是罚球者和守门员都选择50%的概率,这样可以使双方都无法提高自己的收益。 点球大战是一个典型的博弈论问题,它展示了博弈论在决策分析中的应用,帮助我们更好地理解决策的过程和结果。