求出有向图的所有最大匹配

对于一个有向图，我们可以使用匈牙利算法来求解其最大匹配。

匈牙利算法的基本思想是通过增广路径来不断扩展匹配，直到无法再找到增广路径为止。下面是匈牙利算法的步骤：

1. 初始化一个空的匹配 M。
2. 对于图中的每个顶点 v，尝试将其与一个未匹配的顶点 u 进行匹配。如果能够成功匹配，则将 (v, u) 加入到匹配 M 中。
3. 如果存在一个未匹配的顶点 v，尝试寻找一条从 v 出发的增广路径：
- 如果找到了增广路径，则根据路径上的奇偶性来调整路径中的匹配边和非匹配边，从而扩展当前的匹配。
- 如果没有找到增广路径，则说明当前的匹配已经是最大匹配，算法结束。
4. 重复步骤 3 直到无法找到增广路径。

通过以上步骤，最终得到的匹配 M 就是有向图的最大匹配。

需要注意的是，匈牙利算法是一个经典的算法，其时间复杂度为 O(V * E)，其中 V 是顶点数，E 是边数。在实际应用中，可以使用一些优化技巧来提高算法的效率。

相关问题

编写二分图多重匹配代码

以下是使用networkx库实现二分图多重匹配的Python代码示例：

import networkx as nx

def bipartite_max_matching(bipartite_graph):
    """
    二分图多重匹配
    :param bipartite_graph: 二分图，使用networkx库的Graph对象表示
    :return: 匹配结果，为一个Python字典，左侧节点为键，值为匹配的右侧节点列表
    """
    # 将二分图转化为网络流图
    flow_graph = nx.DiGraph()

    # 添加源点和汇点
    flow_graph.add_node("source")
    flow_graph.add_node("sink")

    # 添加左侧节点
    for left_node in bipartite_graph.left:
        # 添加入点和出点
        in_node = "in_" + left_node
        out_node = "out_" + left_node
        flow_graph.add_node(in_node)
        flow_graph.add_node(out_node)

        # 将入点向出点连一条容量为1的边
        flow_graph.add_edge(in_node, out_node, capacity=1)

        # 将源点向入点连一条容量为1的边
        flow_graph.add_edge("source", in_node, capacity=1)

        # 将左侧节点的出点向右侧节点的入点连一条容量为1的边
        for right_node in bipartite_graph.right:
            if bipartite_graph.has_edge(left_node, right_node):
                flow_graph.add_edge(out_node, "in_" + right_node, capacity=1)

    # 添加右侧节点
    for right_node in bipartite_graph.right:
        # 添加入点和出点
        in_node = "in_" + right_node
        out_node = "out_" + right_node
        flow_graph.add_node(in_node)
        flow_graph.add_node(out_node)

        # 将入点向出点连一条容量为1的边
        flow_graph.add_edge(in_node, out_node, capacity=1)

        # 将右侧节点的出点向汇点连一条容量为1的边
        flow_graph.add_edge(out_node, "sink", capacity=1)

    # 计算最大流
    max_flow_value, max_flow_dict = nx.maximum_flow(flow_graph, "source", "sink")

    # 提取匹配结果
    matching = {}
    for left_node in bipartite_graph.left:
        matching[left_node] = []
        for right_node in bipartite_graph.right:
            if "out_" + left_node in max_flow_dict and \
                    "in_" + right_node in max_flow_dict["out_" + left_node]:
                if max_flow_dict["out_" + left_node]["in_" + right_node] > 0:
                    matching[left_node].append(right_node)

    return matching

需要注意的是，以上代码假设二分图的左侧节点为`bipartite_graph.left`，右侧节点为`bipartite_graph.right`，边集为`bipartite_graph.edges`。其中，`bipartite_graph.edges`为一个Python列表，每个元素为形如`(left_node, right_node)`的元组，表示左侧节点`left_node`和右侧节点`right_node`之间有一条边。在这个假设下，`bipartite_graph.has_edge(left_node, right_node)`可以用来判断是否存在从左侧节点`left_node`到右侧节点`right_node`的边。

无向图最小权顶点覆盖问题，边没有权值，顶点有c++实现

对于无权图的最小权顶点覆盖问题，可以使用二分图最大匹配求解。具体做法是将图中的点分为左右两个部分，对于每条边 (u, v)，在左部分的点 u 和右部分的点 v 之间连一条边，然后求解最大匹配，最小权顶点覆盖即为总点数减去最大匹配数。

以下是使用二分图最大匹配求解无向图最小权顶点覆盖问题的c++代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 1005;

int n, m;
int link[MAXN];
bool vis[MAXN];
vector<int> G[MAXN];

bool dfs(int u) {
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (!vis[v]) {
            vis[v] = true;
            if (link[v] == -1 || dfs(link[v])) {
                link[v] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int maxMatch() {
    int res = 0;
    memset(link, -1, sizeof(link));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        if (dfs(i)) res++;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v + n);
        G[v + n].push_back(u);
    }
    int ans = n - maxMatch();
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

其中，`G[i]`表示点 i 的邻接表，`link[i]`表示点 i 匹配的点，`vis[i]`表示点 i 是否被访问过。`dfs()`函数为匈牙利算法的递归函数，`maxMatch()`函数为求解最大匹配的函数，最小权顶点覆盖即为总点数减去最大匹配数。