培养皿中的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落. 设N是病菌的数目, 病菌的自然增长率与N成正比, 比例常数为 , 同时病菌由于寒冷而受到损伤, 死亡率与 成正比, 比例常数为 . (1) N关于时间 满足的微分方程是 请用MATLAB求解 . (5分) (2) 表2是该菌一段时间内连续观察的计数个数 (个/ml), 请拟合上述微分方程解出的N随时间变化的模型, 并在同一副图形中绘制拟合曲线和真实观测值散点图, 计算相关系数的平方, 从而分析拟合效果. (5分) 表2 病菌随时时间 (天) 观测个数 (个/ml) 第 天 6 7 8 9 10 11 12 13 14 个数 166 139 136 207 196 244 300 340 317 第 天 15 16 17 18 19 20 21 22 23 个数 351 466 613 659 750 870 1044 1184 1375 第 天 24 25 26 27 28 29 30 个数 1515 1824 2123 2436 2856 3297 3874

抱歉，我作为语言模型无法使用MATLAB进行计算和绘图。但我可以给出微分方程的解析解和相关系数计算的方法。

根据题意，病菌的增长速率与病菌数目成正比，死亡速率与病菌数目成正比，因此可得微分方程：

$$\frac{dN}{dt}=k_1N-k_2N^2$$

其中，$k_1$和$k_2$是正比例常数。

这是一个一阶非齐次常微分方程，可以用变量分离法求解。将方程改写为：

$$\frac{dN}{k_1N-k_2N^2}=dt$$

对两边同时积分，得到：

$$\int\frac{1}{k_1N-k_2N^2}dN=\int dt+C$$

化简可得：

$$\frac{1}{k_1}\ln\frac{N}{N-K}=\frac{k_2}{k_1}t$$

其中，$K$为常数，满足$K=N(0)$，即初始时刻的病菌数目。

解出$N$，得到：

$$N=\frac{KN(0)e^{k_1t}}{K+N(0)(e^{k_1t}-1)}$$

接下来，我们可以用MATLAB拟合微分方程解析解和观测值的关系，计算相关系数的平方来分析拟合效果。具体做法可以参考以下步骤：

1. 将微分方程解析解中的参数$k_1$和$k_2$用最小二乘法拟合，拟合时将初始时刻的病菌数目$N(0)$作为已知参数。

2. 使用拟合出的参数$k_1$、$k_2$和$N(0)$，以及观测时间和观测值，计算微分方程解析解在观测时间上对应的病菌数目$N$。

3. 将计算出的病菌数目$N$和观测值绘制在同一张图上，计算相关系数的平方，从而评估拟合效果。

希望这些信息对你有所帮助！