考虑正弦信号检测问题，幅度A，相位fai未知且A大于0。H0假设下z[k]=n[k],n[k]为0均值高斯白噪声，方差为sigma=1，数据长度为20。H1假设下z[n]=Acos(2*pi*f+fai)+n[k],f=0.1. 用matlab语言，蒙特卡洛仿真，写出正交形式检测。提示z[n]分别与cos(2*pi*f*k),sin(2*pi*f*k)相乘，求和，平方，平均，与门限gama比较，绘制出仿真的ROC曲线与理论计算的ROC曲线。提示cos(2*pi*f*k),sin(2*pi*f*k)

首先，我们需要定义信号的参数。根据题目，信号的幅度A=1，相位fai未知，但A大于0，数据长度为20。

A = 1;
f = 0.1;
sigma = 1;
N = 20;

接下来，我们需要生成一组随机数据，并对其进行正交变换。

% 生成高斯白噪声
n = randn(1,N);

% 生成信号
s = A*cos(2*pi*f*(0:N-1)+rand*2*pi);

% 将信号与高斯白噪声相加
z0 = n;
z1 = s + n;

% 正交变换
cosine = cos(2*pi*f*(0:N-1));
sine = sin(2*pi*f*(0:N-1));

x0 = z0.*cosine;
y0 = z0.*sine;

x1 = z1.*cosine;
y1 = z1.*sine;

然后，我们需要计算出在两个假设下的判决统计量，即在H0假设下的判决统计量z0和在H1假设下的判决统计量z1。

% 在H0假设下的判决统计量
z0 = (x0.^2+y0.^2)/sigma^2;

% 在H1假设下的判决统计量
z1 = (x1.^2+y1.^2)/sigma^2;

接下来，我们需要设定不同的门限值，计算出检测的正确率和虚警率，进而绘制ROC曲线。

% 设定门限值
gama = linspace(0,10,100);

% 计算出检测的正确率和虚警率
Pd = zeros(1, length(gama));
Pfa = zeros(1, length(gama));

for i = 1:length(gama)
    Pd(i) = sum(z1>gama(i))/N;
    Pfa(i) = sum(z0>gama(i))/N;
end

% 绘制ROC曲线
plot(Pfa,Pd);
xlabel('False Alarm Probability');
ylabel('Detection Probability');
title('ROC Curve');

最后，我们可以将仿真的ROC曲线和理论计算的ROC曲线进行比较，来验证我们的仿真结果是否正确。

% 计算理论计算的ROC曲线
gamma_c = linspace(0,10,1000);
Pd_c = 1 - qfunc((gamma_c - A^2/2)/sigma);
Pfa_c = 1 - qfunc(gamma_c - A^2/2);

% 绘制理论计算的ROC曲线
hold on
plot(Pfa_c, Pd_c, '--r');
legend('Simulation', 'Theory');

完整代码如下：