用matlab实现Aitken差值算法

好的，关于Aitken差值算法的实现，以下是一个matlab程序示例：

输入：x - 插值节点的向量，y - 对应节点的解向量，z - 要求解的插值点

输出：p - 插值点z的多项式近似值

function p=aitken(x,y,z)
n=length(x);
A=zeros(n,n);
A(:,1)=y';
for i=2:n
for j=2:i
A(i,j)=((z-x(i-j+1))*A(i,j-1)-(z-x(i))*A(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));
end
end
p=A(n,n);
end

注意：此处的实现仅供参考，具体实现方式可能会因工作环境和要求不同而有所调整。

相关问题

``` Aitken ```用fortran95实现Aitken差值计算

Aitken's delta-squared process（阿特金森差分法）是一种迭代方法，用于加速序列收敛速度，尤其是在处理某些难以直接求解的问题时。在Fortran 95中，我们可以编写一个简单的循环结构来实现这个过程。假设我们有一个序列 `x`，我们想要估计序列的极限 `limit`。以下是一个基本的实现：

implicit none
real, dimension(:), intent(in) :: x    ! 输入序列
integer, parameter :: max_iter = 100  ! 最大迭代次数
real :: limit, old_limit, delta    ! 存储中间值和新旧差

! 初始猜测
limit = x(1)
old_limit = limit

do i = 2, max_iter
   ! Aitken's formula
   delta = (old_limit - limit) / (1 + old_limit * limit)
   limit = old_limit - delta**2
   if (abs(delta) < some_threshold) exit  ! 如果收敛满足条件，则退出循环
   old_limit = limit
end do

if (.not. exit) print *, "Aitken's method did not converge within ", max_iter, " iterations."
print *, "Estimated limit:", limit

! 可能还需要添加错误检查或处理

请注意，你需要替换 `some_threshold` 为一个合适的阈值，当 `delta` 小于这个值时，认为序列已经足够接近其真实极限，从而停止迭代。这个代码片段仅给出了算法的核心逻辑，实际应用中可能需要根据具体情况调整和优化。

用matlab实现Aitken加速(Steffensen迭代法)、改进欧拉方法、 经典龙格库塔方法(四阶)、阿达姆斯预测-校正方法的代码

以下是用 MATLAB 实现 Aitken 加速、改进欧拉方法、经典龙格库塔方法（四阶）、阿达姆斯预测-校正方法的代码：

Aitken 加速：

function [x, iter] = aitken(f, x0, tol, maxiter)
% Aitken 加速求解非线性方程 f(x) = 0
% f: 方程右端函数
% x0: 初值
% tol: 允许误差
% maxiter: 最大迭代步数
% x: 近似解
% iter: 实际迭代步数

iter = 0;
x = x0;
while iter < maxiter
    iter = iter + 1;
    fx = f(x);
    if abs(fx) < tol
        return;
    end
    x1 = x - fx;
    fx1 = f(x1);
    if abs(fx1) < tol
        x = x1;
        return;
    end
    x2 = x1 - fx1;
    fx2 = f(x2);
    if abs(fx2) < tol
        x = x2;
        return;
    end
    x = x - fx * fx / (fx1 - 2 * fx + fx2);
end
end

改进欧拉方法：

function [t, y] = improve_euler(f, a, b, y0, h)
% 改进欧拉方法求解常微分方程初值问题 y' = f(t, y), y(a) = y0
% f: 方程右端函数
% a, b: 区间端点
% y0: 初值
% h: 步长
% t: 网格点
% y: 近似解

t = a:h:b;
y = zeros(1, length(t));
y(1) = y0;
for i = 1:length(t)-1
    y1 = y(i) + h * f(t(i), y(i));
    y(i+1) = y(i) + h / 2 * (f(t(i), y(i)) + f(t(i+1), y1));
end
end

经典龙格库塔方法（四阶）：

function [t, y] = rk4(f, a, b, y0, h)
% 经典龙格库塔方法（四阶）求解常微分方程初值问题 y' = f(t, y), y(a) = y0
% f: 方程右端函数
% a, b: 区间端点
% y0: 初值
% h: 步长
% t: 网格点
% y: 近似解

t = a:h:b;
y = zeros(1, length(t));
y(1) = y0;
for i = 1:length(t)-1
    k1 = f(t(i), y(i));
    k2 = f(t(i) + h/2, y(i) + h/2 * k1);
    k3 = f(t(i) + h/2, y(i) + h/2 * k2);
    k4 = f(t(i) + h, y(i) + h * k3);
    y(i+1) = y(i) + h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
end
end

阿达姆斯预测-校正方法：

function [t, y] = adams(f, a, b, y0, h)
% 阿达姆斯预测-校正方法求解常微分方程初值问题 y' = f(t, y), y(a) = y0
% f: 方程右端函数
% a, b: 区间端点
% y0: 初值
% h: 步长
% t: 网格点
% y: 近似解

n = round((b-a)/h);
t = a:h:a+n*h;
y = zeros(1, length(t));
y(1:4) = rk4(f, a, a+3*h, y0, h);
for i = 4:n
    yp = y(i) + h/24 * (55*f(t(i), y(i)) - 59*f(t(i-1), y(i-1)) + 37*f(t(i-2), y(i-2)) - 9*f(t(i-3), y(i-3)));
    ypp = y(i) + h/24 * (9*f(t(i+1), yp) + 19*f(t(i), y(i)) - 5*f(t(i-1), y(i-1)) + f(t(i-2), y(i-2)));
    while abs(ypp - yp) > 1e-6
        yp = ypp;
        ypp = y(i) + h/24 * (9*f(t(i+1), yp) + 19*f(t(i), y(i)) - 5*f(t(i-1), y(i-1)) + f(t(i-2), y(i-2)));
    end
    y(i+1) = ypp;
end
end

以上代码仅供参考，实际使用时需要根据具体问题进行修改。