用household变换对矩阵进行QR分解matlab

在Matlab中，可以使用“qr”函数对矩阵进行QR分解。如果想要使用Householder变换进行QR分解，可以在“qr”函数中设置一个可选参数来实现。

下面给出一个例子：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 7];
[m, n] = size(A);
[Q, R] = qr(A);

for j = 1:n
    v = Q(j:m,j);
    A(j:m,j:n) = A(j:m,j:n) - 2*v*(v'*A(j:m,j:n))/norm(v)^2;
end

Q = eye(m);
for j = n:-1:1
    v = A(j:m,j);
    Q(j:m,:) = Q(j:m,:) - 2*v*(v'*Q(j:m,:))/norm(v)^2;
end

R = Q*A

在上面的例子中，首先使用Matlab中的“qr”函数对矩阵A进行QR分解，然后根据QR分解的结果计算出Householder向量，并使用Householder变换对矩阵A进行变换，最后重新计算出Q和R。

需要注意的是，在使用Householder变换对矩阵进行QR分解时，需要对所有列进行变换，而不仅仅是对上三角矩阵R进行变换。

相关问题

household变换 qr分解matlab代码

### 回答1：
`household`变换是一种常用于QR分解的技术，用于将一个矩阵转化为上三角矩阵。在Matlab中，可以使用以下代码实现`household`变换和QR分解。

function [Q, R] = qr_householder(A)
    [m, n] = size(A);  % 获取输入矩阵的大小
    Q = eye(m);  % 初始化Q为单位矩阵

    for k = 1:min(m-1, n)
        x = A(k:m, k);  % 选取当前列的向量
        e = zeros(length(x), 1);  % 初始化e向量
        e(1) = 1;  % e向量的第一个元素为1
        
        % 计算Householder反射向量
        v = sign(x(1)) * norm(x, 2) * e + x;
        v = v / norm(v, 2);

        % 更新A和Q
        A(k:m, k:n) = A(k:m, k:n) - 2 * v * (v' * A(k:m, k:n));
        Q(k:m, :) = Q(k:m, :) - 2 * v * (v' * Q(k:m, :));
    end

    R = A;  % 上三角矩阵R为变换完成后的A矩阵
end

这个函数接受一个输入矩阵A，使用`household`变换和QR分解算法将A分解为Q和R两个矩阵，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。在算法中，循环逐列选取向量进行`household`变换，更新A和Q的值，最终得到变换完成后的A矩阵，即上三角矩阵R。

希望这个回答能够帮助你理解在Matlab中实现`household`变换和QR分解的代码。如果还有其他问题，请随时提问。

### 回答2：
qr分解是一种常用的矩阵变换方法，可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。在Matlab中，我们可以使用"qr"函数进行qr分解。

"qr"函数的基本语法是：

[Q,R] = qr(A)

其中，A是待分解的矩阵，Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。

假设我们有一个名为A的矩阵，我们可以使用以下代码进行qr分解：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
[Q, R] = qr(A);

执行上述代码后，我们得到的Q矩阵如下：

Q =

-0.1231 0.9364 -0.3270
-0.4923 0.2144 0.8427
-0.8615 -0.5076 -0.0294

R矩阵如下：

R =

-8.1240 -9.6011 -11.0782
0 0.7483 1.4965
0 0 0.0000

这样，我们将矩阵A成功地分解为Q和R。

qr分解在数值计算、线性代数等领域都有广泛的应用，可以用于求解线性方程组、矩阵的逆、最小二乘拟合等问题。它的一个重要应用是求解特征值和特征向量。

求household矩阵的matlab代码

假设有一个数据矩阵X，其中每一行代表一个观测值（如个人或家庭）。可以使用以下代码来计算 household 矩阵：

function [Q,R] = household(A)
% HOUSEHOLD computes the QR factorization of A using the Householder transform.
% A: input matrix
% Q: orthogonal matrix
% R: upper triangular matrix

[m,n] = size(A);
Q = eye(m); % initialize Q as the identity matrix
for k = 1:n
    % Apply Householder transformation to column k
    x = A(k:m,k);
    e = eye(length(x));
    v = sign(x(1))*norm(x)*e(:,1) + x;
    v = v/norm(v);
    A(k:m,k:n) = A(k:m,k:n) - 2*v*(v'*A(k:m,k:n));
    Q(k:m,:) = Q(k:m,:) - 2*v*(v'*Q(k:m,:));
end
R = triu(A);
end

将数据矩阵X作为输入，然后调用此函数即可。它将返回Q和R，即Household矩阵和上三角矩阵。