举一个Household变换的例子

假设有一个列向量 $x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}$，我们希望将其变换为形如 $y = \begin{bmatrix}\alpha \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$ 的向量，其中 $\alpha$ 是一个常数。可以通过以下步骤进行Household变换：

1. 计算向量 $v = x - \text{sign}(x_1)\|x\|_2 e_1$，其中 $\text{sign}(x_1)$ 表示 $x_1$ 的符号，$\|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$ 是向量 $x$ 的2范数，$e_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$ 是单位向量。
2. 计算矩阵 $H = I - \frac{2}{v^Tv}vv^T$，其中 $I$ 是单位矩阵，$v^T$ 是向量 $v$ 的转置。
3. 对向量 $x$ 进行变换：$y = Hx$。

这样，向量 $y$ 就被变换为了形如 $\begin{bmatrix}\alpha \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$ 的向量，其中 $\alpha = -\text{sign}(x_1)\|x\|_2$。这个过程中，我们通过Household变换将第一列转化为了一个特定的向量，同时保持其他列不变。