举一个Household变换的例子
时间: 2024-03-31 22:38:14 浏览: 22
假设有一个列向量 $x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}$,我们希望将其变换为形如 $y = \begin{bmatrix}\alpha \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$ 的向量,其中 $\alpha$ 是一个常数。可以通过以下步骤进行Household变换:
1. 计算向量 $v = x - \text{sign}(x_1)\|x\|_2 e_1$,其中 $\text{sign}(x_1)$ 表示 $x_1$ 的符号,$\|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$ 是向量 $x$ 的2范数,$e_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$ 是单位向量。
2. 计算矩阵 $H = I - \frac{2}{v^Tv}vv^T$,其中 $I$ 是单位矩阵,$v^T$ 是向量 $v$ 的转置。
3. 对向量 $x$ 进行变换:$y = Hx$。
这样,向量 $y$ 就被变换为了形如 $\begin{bmatrix}\alpha \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$ 的向量,其中 $\alpha = -\text{sign}(x_1)\|x\|_2$。这个过程中,我们通过Household变换将第一列转化为了一个特定的向量,同时保持其他列不变。
相关问题
household变换 qr分解matlab代码
### 回答1:
`household`变换是一种常用于QR分解的技术,用于将一个矩阵转化为上三角矩阵。在Matlab中,可以使用以下代码实现`household`变换和QR分解。
```matlab
function [Q, R] = qr_householder(A)
[m, n] = size(A); % 获取输入矩阵的大小
Q = eye(m); % 初始化Q为单位矩阵
for k = 1:min(m-1, n)
x = A(k:m, k); % 选取当前列的向量
e = zeros(length(x), 1); % 初始化e向量
e(1) = 1; % e向量的第一个元素为1
% 计算Householder反射向量
v = sign(x(1)) * norm(x, 2) * e + x;
v = v / norm(v, 2);
% 更新A和Q
A(k:m, k:n) = A(k:m, k:n) - 2 * v * (v' * A(k:m, k:n));
Q(k:m, :) = Q(k:m, :) - 2 * v * (v' * Q(k:m, :));
end
R = A; % 上三角矩阵R为变换完成后的A矩阵
end
```
这个函数接受一个输入矩阵A,使用`household`变换和QR分解算法将A分解为Q和R两个矩阵,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵。在算法中,循环逐列选取向量进行`household`变换,更新A和Q的值,最终得到变换完成后的A矩阵,即上三角矩阵R。
希望这个回答能够帮助你理解在Matlab中实现`household`变换和QR分解的代码。如果还有其他问题,请随时提问。
### 回答2:
qr分解是一种常用的矩阵变换方法,可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。在Matlab中,我们可以使用"qr"函数进行qr分解。
"qr"函数的基本语法是:
[Q,R] = qr(A)
其中,A是待分解的矩阵,Q是正交矩阵,R是上三角矩阵。
假设我们有一个名为A的矩阵,我们可以使用以下代码进行qr分解:
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
[Q, R] = qr(A);
执行上述代码后,我们得到的Q矩阵如下:
Q =
-0.1231 0.9364 -0.3270
-0.4923 0.2144 0.8427
-0.8615 -0.5076 -0.0294
R矩阵如下:
R =
-8.1240 -9.6011 -11.0782
0 0.7483 1.4965
0 0 0.0000
这样,我们将矩阵A成功地分解为Q和R。
qr分解在数值计算、线性代数等领域都有广泛的应用,可以用于求解线性方程组、矩阵的逆、最小二乘拟合等问题。它的一个重要应用是求解特征值和特征向量。
Household变换和Givens变换的优缺点
Householder变换和Givens变换都是常用的矩阵变换方法,它们的优缺点如下所示:
Householder变换:
优点:
1. 通过一次运算可以将一个向量变成与某个坐标轴垂直的向量。
2. 可以用来实现QR分解,而且计算QR分解的时候,Householder变换的次数少于Givens变换。
缺点:
1. 它的计算复杂度较高,需要进行矩阵乘法和向量内积等运算。
2. 它的计算过程中需要选择一个合适的向量来进行变换,不同的向量选择可能会影响计算结果。
Givens变换:
优点:
1. 它的计算复杂度较低,只需要进行一些简单的数学运算,如三角函数等。
2. 它的计算过程中不需要选择向量,只需要选择一个合适的坐标轴即可进行变换。
缺点:
1. 它需要进行大量的旋转操作,每次操作都需要更新整个矩阵,所以在计算QR分解的时候,Givens变换的次数比Householder变换多。
2. 它的计算过程中会出现除数为零的情况,需要特殊处理。
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