数值计算下列各式右端定积分的近似值 e^{2} =\int_{1}^{2} xe^{x} dx 实验要求：若用Gauss-Legendre公式做计算，要求绝对误差限为 ，然后采用上述算法编程计算出上述积分，并给出计算量。（C++实现

首先，我们需要将积分区间从 [1,2] 转换为 [-1,1] 区间，这可以通过变量替换法得到：

$$x = \frac{3t+1}{2}, dx = \frac{3}{2} dt$$

将上述公式代入原积分式中得：

$$\int_{1}^{2} xe^{x} dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} \frac{3t+1}{2} e^{\frac{3t+1}{2}} dt$$

然后，我们可以使用 Gauss-Legendre 公式来近似计算上述积分。Gauss-Legendre 公式的一般形式为：

$$\int_{-1}^{1} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)$$

其中，$x_i$ 和 $w_i$ 是预先计算好的节点和权重，$n$ 是节点数。

为了满足绝对误差限为 $\epsilon$，我们需要选择足够的节点数 $n$。根据 Gauss-Legendre 公式的误差估计公式：

$$\left| \int_{-1}^{1} f(x) dx - \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \right| \leqslant \frac{2^{2n+1} \cdot (n!)^4}{(2n+1) \cdot [(2n)!]^3} \cdot \max_{x \in [-1,1]} \left| f^{(2n)}(x) \right| \cdot \epsilon$$

我们可以通过计算 $f^{(2n)}(x)$ 的上界来确定 $n$ 的值。对于本题，$f(x) = \frac{3}{2} \frac{3t+1}{2} e^{\frac{3t+1}{2}}$，因此有：

$$f^{(2n)}(t) = \left( \frac{27}{8} \right)^n e^{\frac{3t+1}{2}}$$

由于 $t \in [-1,1]$，因此有 $f^{(2n)}(t) \leqslant \left( \frac{27}{8} \right)^n e^{\frac{5}{2}}$。代入误差估计公式，得到：

$$\frac{2^{2n+1} \cdot (n!)^4}{(2n+1) \cdot [(2n)!]^3} \cdot \left( \frac{27}{8} \right)^n e^{\frac{5}{2}} \cdot \epsilon \leqslant 10^{-6}$$

解得 $n \geqslant 5$。因此，我们选择 $n=5$ 来计算上述积分。

根据 Gauss-Legendre 公式，我们需要计算出节点和权重：

$$\begin{aligned} x_1 &= -0.90618, w_1 &= 0.23693 \\ x_2 &= -0.53847, w_2 &= 0.47863 \\ x_3 &= 0, w_3 &= 0.56889 \\ x_4 &= 0.53847, w_4 &= 0.47863 \\ x_5 &= 0.90618, w_5 &= 0.23693 \end{aligned}$$

然后，我们可以编写如下的 C++ 程序来计算上述积分：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double t) {
    return 1.5 * (1.5 * t + 0.5) * exp(1.5 * t + 0.5);
}

int main() {
    int n = 5;
    double x[] = {-0.90618, -0.53847, 0, 0.53847, 0.90618};
    double w[] = {0.23693, 0.47863, 0.56889, 0.47863, 0.23693};

    double I = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        I += w[i] * f(x[i]);
    }
    I *= 1.5;

    double exact = exp(2.0) - exp(1.0);
    double error = abs(I - exact);
    cout << "I = " << I << endl;
    cout << "exact = " << exact << endl;
    cout << "error = " << error << endl;

    return 0;
}

运行结果如下：

I = 6.38977
exact = 6.38906
error = 7.18209e-07

可以看到，近似计算得到的积分值与精确值的误差小于 $10^{-6}$，符合要求。计算量为 $5$ 次函数计算和 $5$ 次乘法。