n的阶乘定义为n!=1*2*3*……*n 如3!=6 n!通常最后会有很多0,如5!=120 最后有一个0,现在统计n!去除末尾的0后,最后k位是多少
时间: 2023-05-01 09:07:08 浏览: 155
题目中的$b_n$的定义是$n$的阶乘,即$b_n=1*2*3*\cdots*n$。已知$b_3!=6$,$b_5!=120$,而$n!$的末尾会有很多个0,现在我们统计$n!$去除末尾的0之后最后有多少个0。注意到10是由$2*5$得到的,因此我们只需要统计$n!$中2和5的个数,然后取两者的最小值,即为$n!$末尾0的个数。显然2的个数远大于5的个数,因此我们只需要计算$n!$中5的因子个数。依次分别除以5,25,125……,并对每次得到的商进行累加即可。具体来讲,设$f(n)$表示$n!$中5的因子数,则有:
$$f(n)=\left\lfloor \frac{n}{5}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{125}\right\rfloor+\cdots$$
现在我们来看一下最后一个问题,即求$n!$除以末尾的0之后最后有多少个非0数字。很明显,这就是要求$n!$除以10之后最后一位非0数的个数,而这个数可以看成是$n!$中质因数2和5的个数之间的最小值。根据之前的计算,$n!$中5的因子数即为$n!$末尾0的个数,那么质因数2的个数又可以通过类似的方法来计算,即
$$g(n)=\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{8}\right\rfloor+\cdots$$
综上所述,我们只需要求出$f(n)$和$g(n)$,然后取两者的最小值即可。同时,注意到$f(n)$和$g(n)$都可以用对数的形式表示,具体来讲,有:
$$f(n)=\sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{5^i}\right\rfloor,\quad g(n)=\sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{2^i}\right\rfloor$$
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