yalmip 分段线性化

YALMIP（MATLAB工具箱）可以用来进行分段线性化。分段线性化是一种将非线性问题转化为线性问题的技术，通过将非线性函数分段近似为线性函数来达到此目的。这个过程涉及到将非线性函数分割成一系列线性子函数，并在每个子区间内使用线性函数近似原函数。这样，我们可以使用线性规划（LP）或混合整数线性规划（MILP）等线性优化方法来解决这些分段线性问题。

YALMIP提供了一个PWL函数（piecewise linear function），它可以将一个非线性函数近似为一组线性函数。PWL函数的语法如下：

y = pwl(x,knots,coefs);

其中，x是自变量，knots是分段点，coefs是每个区间内的系数。例如，如果我们想将一个包含平方项的函数f(x)在区间[0,10]中分段线性化，我们可以这样做：

x = sdpvar(1,1);
y = sdpvar(1,1);
f = x^2;
knots = linspace(0,10,11);
coefs = [];
for i = 1:length(knots)-1
    x0 = knots(i);
    x1 = knots(i+1);
    slope = 2*x0;
    intercept = f(x0)-slope*x0;
    coefs = [coefs; slope, intercept];
    y = y + pwl(x,[x0 x1],coefs(i,:))*(x>=x0)*(x<x1);
end

这个代码段中，我们定义了自变量x和一个辅助变量y。我们将f(x)定义为平方项，然后选择分段点knots，并计算每个区间内的斜率和截距。最后，我们使用PWL函数将每个区间内的线性函数相加，以得到分段线性化的近似函数。

YALMIP还提供了一系列的分段线性化器，例如pwa、pwq等等，可以帮助用户自动分段线性化约束或目标函数。