Topkis-Veinott可行方向法的具体目标函数及python实现代码

Topkis-Veinott可行方向法是一种求解线性规划问题的算法。其目标函数可以表示为：

max c^T x
s.t. Ax <= b
x >= 0

其中，c是一个n维列向量，A是一个m×n矩阵，b是一个m维列向量，x是一个n维列向量。

实现代码如下：

import numpy as np

def topkis_veinott(c, A, b):
    # 初始化
    n = len(c)
    x = np.zeros(n)
    r = b - np.dot(A, x)
    S = []
    while True:
        # 计算最大的c_i * r_i
        w = np.dot(c, r)
        if w <= 0:
            # 如果w小于等于0，则当前解为最优解
            break
        # 找到一个最大的c_i * r_i
        i = np.argmax(np.multiply(c, r))
        S.append(i)
        # 计算方向d
        d = np.zeros(n)
        d[i] = 1
        while True:
            # 计算alpha
            alpha = np.min(np.divide(x[S], d[S]))
            # 更新x
            x = x + alpha * d
            # 更新r
            r = b - np.dot(A, x)
            # 如果r非负，则当前解为可行解
            if np.all(r >= 0):
                break
            # 找到一个最小的r_i / (A_i, d)
            mask = np.ma.array(np.divide(r, np.dot(A, d)), mask=np.in1d(np.arange(n), S))
            j = np.argmin(mask)
            # 如果r_i / (A_i, d)大于等于0，则问题无界
            if mask[j] >= 0:
                return None
            # 加入S集合
            S.append(j)
            # 更新方向d
            d = np.zeros(n)
            d[i] = 1
            d[S] = -np.divide(A[:, S].sum(axis=1), np.dot(A[:, S], d[S]))
    return x

其中，c是一个n维列向量，A是一个m×n矩阵，b是一个m维列向量。如果问题无界，则返回None；否则，返回最优解x。