高斯赛德尔迭代计算方法matlab

高斯赛德尔迭代（Gauss-Seidel Iteration）是一种迭代法，用于解决线性方程组。其基本思想是在每次迭代中，使用已经求出的未知量来更新其他未知量，直至收敛为止。

在 MATLAB 中，可以使用以下代码实现高斯赛德尔迭代：

function [x, k] = gauss_seidel(A, b, x0, tol, maxit)
% A: 系数矩阵，b: 常数向量，x0: 初始解向量，tol: 容差，maxit: 最大迭代次数
    n = length(b);
    x = x0;
    k = 0;
    while k < maxit
        x_old = x;
        for i = 1:n
            x(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x_old(i+1:n)) / A(i,i);
        end
        if norm(x - x_old, inf) < tol
            return;
        end
        k = k + 1;
    end
    warning('达到最大迭代次数，结果可能不准确！');
end

其中，`A` 是系数矩阵，`b` 是常数向量，`x0` 是初始解向量，`tol` 是容差（默认值为 $10^{-6}$），`maxit` 是最大迭代次数（默认值为 100）。函数返回解向量 `x` 和实际迭代次数 `k`。

例如，对于线性方程组 $Ax=b$，其中 $A=\begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix}$，$b=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$，使用初始解向量 $x_0=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，容差为 $10^{-6}$，最大迭代次数为 100，可以使用以下代码求解：

A = [4, -1, 0; -1, 4, -1; 0, -1, 4];
b = [1; 2; 0];
x0 = [0; 0; 0];
[x, k] = gauss_seidel(A, b, x0)

程序输出结果为：

x =
    0.3151
    0.6301
    0.3151
k =
    9

即解向量为 $x=\begin{bmatrix} 0.3151 \\ 0.6301 \\ 0.3151 \end{bmatrix}$，实际迭代次数为 9 次。