f(x,y=0)=sin(πx);f(x,y=1)=e^(-π)sin(πx);f(x=0,y)=f(x=1,y)=0,∇^2f=0，求f

根据题意，我们可以列出以下偏微分方程：

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$$

对于 $y=0$ 和 $y=1$ 的情况，我们可以利用边界条件和函数值来求解。

当 $y=0$ 时，根据边界条件 $f(x=0,y)=f(x=1,y)=0$，我们可以得到：

$$f(x,y=0)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n\sin(n\pi x)$$

其中，

$$A_n=\frac{2}{1-e^{-n\pi}}\int_0^1 f(x,0)\sin(n\pi x)\mathrm{d}x$$

代入 $f(x,y=0)=\sin(\pi x)$，可得：

$$f(x,y=0)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\sin(n\pi x)}{n(e^{n\pi}-e^{-n\pi})}$$

当 $y=1$ 时，根据边界条件 $f(x=0,y)=f(x=1,y)=0$ 和函数值 $f(x,y=1)=e^{-\pi}\sin(\pi x)$，我们可以得到：

$$f(x,y=1)=\sum_{n=1}^{\infty} B_n\sin(n\pi x)$$

其中，

$$B_n=\frac{2}{1-e^{-n\pi}}\int_0^1 f(x,1)\sin(n\pi x)\mathrm{d}x$$

代入 $f(x,y=1)=e^{-\pi}\sin(\pi x)$，可得：

$$f(x,y=1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2e^{-n\pi}\sin(n\pi x)}{n(e^{n\pi}-e^{-n\pi})}$$

综合以上结果，我们可以得到最终的解：

$$f(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\sinh(n\pi y)e^{-n\pi}\sin(n\pi x)}{n(e^{n\pi}-e^{-n\pi})}$$