f(x,y=0)=sin(πx);f(x,y=1)=e^(-π)sin(πx);f(x=0,y)=f(x=1,y)=0,∇2f=0，求f

根据边界条件可得：

f(x=0,y)=f(x=1,y)=0

f(x,y=0)=sin(πx)

f(x,y=1)=e^(-π)sin(πx)

因为∇2f=0，所以：

∂2f/∂x2 + ∂2f/∂y2 = 0

根据分离变量法，设f(x,y)=X(x)Y(y)，代入上式得到：

X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0

整理得到：

X''(x)/X(x)=-Y''(y)/Y(y)

设它们等于常数k的平方：

X''(x)/X(x)=-k^2

Y''(y)/Y(y)=k^2

解得：

X(x)=A1sin(kx)+A2cos(kx)

Y(y)=A3sinh(ky)+A4cosh(ky)

根据边界条件f(x,y=0)=sin(πx)，可得：

X(x)=sin(πx)

根据边界条件f(x,y=1)=e^(-π)sin(πx)，可得：

Y(y)=e^(-π)sinh(ky)

将X(x)和Y(y)代入f(x,y)=X(x)Y(y)得到：

f(x,y)=sin(πx)e^(-π)sinh(ky)

再根据边界条件f(x=0,y)=f(x=1,y)=0，可得：

sinh(k)=0

因为k>0，所以k=nπ，n=1,2,3,...

因此，f(x,y)=sin(nπx)e^(-nπy)，n=1,2,3,...

相关问题

f(x,y=0)=sin(πx);f(x,y=1)=e^(-π)sin(πx);f(x=0,y)=f(x=1,y)=0,求f函数

根据题目给出的条件和函数性质，我们可以将函数 f(x,y) 分成两个部分：

当 y=0 时，f(x,y)=sin(πx)

当 y=1 时，f(x,y)=e^(-π)sin(πx)

当 x=0 或 x=1 时，f(x,y)=0

因为 f(x,y) 在 y=0 和 y=1 时是不同的，所以我们需要分别考虑这两种情况。

当 y=0 时，函数 f(x,y) 在 x 轴上的波形为正弦曲线，如下图所示：

当 y=1 时，函数 f(x,y) 在 x 轴上的波形为 e^(-π) 倍的正弦曲线，如下图所示：

可以看出，函数 f(x,y) 在 x 方向上的变化是相同的，因此我们可以将其表示为一个函数 g(x)，即：

g(x) = f(x,y=0) = sin(πx) （0 ≤ x ≤ 1）

g(x) = f(x,y=1) / e^(-π) = e^π sin(πx) （0 ≤ x ≤ 1）

将 g(x) 带入原函数，我们得到：

f(x,y) = g(x) （y=0，0 ≤ x ≤ 1）

f(x,y) = e^(-π)y g(x) （y=1，0 ≤ x ≤ 1）

f(x,y) = 0 （x=0 或 x=1，0 ≤ y ≤ 1）

因此，函数 f(x,y) 可以表示为：

f(x,y) = sin(πx) （y=0，0 ≤ x ≤ 1）

f(x,y) = e^(-π)y sin(πx) （y=1，0 ≤ x ≤ 1）

f(x,y) = 0 （x=0 或 x=1，0 ≤ y ≤ 1）