计算f(x,y)=sin(2πux+2πvy)的二维傅里叶变换结果
时间: 2023-05-28 08:06:35 浏览: 137
设F(u,v)为f(x,y)的二维傅里叶变换结果,则有:
F(u,v) = ∬f(x,y)·e^(-2πi(ux+vy)) dxdy
将f(x,y)代入上式:
F(u,v) = ∬sin(2πux 2πvy)·e^(-2πi(ux+vy)) dxdy
根据欧拉公式,e^(ix) = cos(x) + i·sin(x),可以将sin用指数函数表示:
F(u,v) = ∬(e^(2πiux 2πvy) - e^(-2πiux 2πvy))·e^(-2πi(ux+vy)) dxdy
化简得:
F(u,v) = ∬(1/2i)·(e^(2πi(2uvx-uy)) - e^(-2πi(2uvx-uy))) dxdy
再次应用欧拉公式,得:
F(u,v) = (1/2i)·[∬e^(2πi(2uvx-uy)) dxdy - ∬e^(-2πi(2uvx-uy)) dxdy]
对于第一项,有:
∬e^(2πi(2uvx-uy)) dxdy = ∬e^(2πi(2uvx))·e^(-2πiuy) dxdy
由于e^(-2πiuy)只与y有关,因此将y看作常数,对x进行积分,得到:
∫e^(2πi(2uvx)) dx = δ(2uv)
其中,δ(x)表示狄拉克δ函数。因此,第一项为:
(1/2i)·∬e^(2πi(2uvx-uy)) dxdy = (1/2i)·δ(2uv)·∫dy = (1/2i)·δ(2uv)
对于第二项,同理有:
(1/2i)·∬e^(-2πi(2uvx-uy)) dxdy = (1/2i)·δ(-2uv)·∫dy = (1/2i)·δ(-2uv)
因此,F(u,v)的值为:
F(u,v) = (1/2i)·(δ(2uv) - δ(-2uv))
注:δ函数的性质可以参考狄拉克δ函数的定义和性质。