Mentgomery C实现

Montgomery算法是用于大数模幂运算的一种算法。下面给出一个C语言实现的例子：

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

#define BASE 65536       // 模数的基数
#define BASE_BITS 16     // 模数的位数
#define MASK 0xffff      // 用于取模的掩码

typedef struct montgomery_ctx_s {
    uint32_t n;          // 模数
    uint32_t r2;         // r^2 mod n
    uint32_t n_prime;    // n' = -(n^-1) mod r
} montgomery_ctx_t;

// 计算a * b mod n
uint32_t montgomery_mul(montgomery_ctx_t *ctx, uint32_t a, uint32_t b) {
    uint32_t t = a * b;
    uint32_t u = (t + (t * ctx->n_prime & MASK) * ctx->n) >> BASE_BITS;
    return u < ctx->n ? u : u - ctx->n;
}

// 计算a^e mod n
uint32_t montgomery_pow(montgomery_ctx_t *ctx, uint32_t a, uint32_t e) {
    uint32_t r = ctx->r2;
    while (e) {
        if (e & 1) {
            r = montgomery_mul(ctx, r, a);
        }
        a = montgomery_mul(ctx, a, a);
        e >>= 1;
    }
    return montgomery_mul(ctx, r, 1);
}

int main() {
    montgomery_ctx_t ctx;
    uint32_t a = 65537, e = 65539;

    // 初始化上下文
    ctx.n = 0xffffffff;
    ctx.r2 = (uint64_t)BASE * BASE % ctx.n;
    ctx.n_prime = -ctx.n % BASE;

    // 计算a^e mod n
    uint32_t res = montgomery_pow(&ctx, a, e);
    printf("%u^%u mod %u = %u\n", a, e, ctx.n, res);

    return 0;
}

这个例子中，我们定义了一个`montgomery_ctx_t`结构体，用于保存Montgomery算法中需要用到的参数。在`montgomery_mul`函数中，我们按照Montgomery算法的公式计算出了$a * b * r^{-1} \bmod n$的结果。在`montgomery_pow`函数中，我们使用了快速幂算法，并在每个循环中更新了$r$的值。

在`main`函数中，我们创建了一个`montgomery_ctx_t`结构体，将模数设为0xffffffff，并计算了$r^2 \bmod n$和$n' = -(n^{-1}) \bmod r$的值。然后，我们使用Montgomery算法计算了$a^e \bmod n$的值，并输出结果。