某船厂有 100 种余料，各种余料的数量不同，有一客户提出多种规格的不同数量的 要求，数据见附件 2，试从现有的余料中找出与客户要求相匹配的余料，使得各件余料切割 成客户要求的型材后，所剩下的废料总和最小，试建立数学模型来解决余料匹配方式（不考 虑切割损耗和切割费用）。

假设客户要求的型材为 $n$ 种，分别为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，对于每一种型材 $a_i$，客户需要 $m_i$ 根，长度分别为 $l_{i1}, l_{i2}, \cdots, l_{im_i}$。

现在有 $m$ 种余料，分别为 $b_1, b_2, \cdots, b_m$，数量分别为 $q_1, q_2, \cdots, q_m$，长度为 $L_1, L_2, \cdots, L_m$。假设每种余料可以被无限次切割。

我们可以建立如下的 0-1 整数线性规划模型：

目标函数：

$$\min \sum_{i=1}^m q_i L_i$$

变量：

对于每一种余料 $b_i$，定义 0-1 变量 $x_{ij}$ 表示是否选择余料 $b_i$ 的第 $j$ 段，即：

$$x_{ij}=\begin{cases}1, & \text{选择余料 $b_i$ 的第 $j$ 段}\\0, & \text{否则}\end{cases}$$

约束条件：

1. 对于每种型材 $a_i$，必须选取恰好 $m_i$ 根：

$$\sum_{j=1}^{|b_i|} x_{ij} = m_i, \quad i=1,2,\cdots,n$$

其中 $|b_i|$ 表示余料 $b_i$ 的长度。

2. 对于每个位置 $j$，选择的所有余料的第 $j$ 段长度之和必须等于客户要求的长度：

$$\sum_{i=1}^m L_i x_{ij} = \sum_{i=1}^n l_{ij}, \quad j=1,2,\cdots,\max(m_i)$$

3. 每种余料的选择数量不能超过其剩余数量：

$$\sum_{j=1}^{|b_i|} x_{ij} \leq q_i, \quad i=1,2,\cdots,m$$

4. 所有变量均为 0 或 1：

$$x_{ij} \in \{0,1\}, \quad i=1,2,\cdots,m,j=1,2,\cdots,|b_i|$$

其中 $\max(m_i)$ 表示客户要求的型材中最长的一根的长度。

求解该线性规划模型即可得到最小的废料总和及其对应的余料选择方案。