1 ·肿瘤大小分析 肿瘤大小V生长的遗率与V的a 灭方成正比，其中a为形状参数，0<=a<=1；而比例系数K 随时间减小，减小遗率又与当时的K值成正比，比例系数为 环境系 故b·设某肿瘤参数a=1,b=0.1,K的初始值为2·V的初始值为1. ( 1)请分析此肿瘤生长不会超过多大?( 2)画图分析肿瘤大小V和 K随时间变化趋势进行分析：( 3)多长时间肿瘤大小翻一倍?(4) 肿瘤生长速率由递增转为递减的时间? 结题思路：首先建立肿瘤生长数学模型·然后对微分方程进行求解· \begin{cases} \frac {dv}{dt}=kv^{a} \\ \frac {dk}{dt}=-bk \end{cases}

这是一个关于肿瘤生长的数学模型，我们可以通过解微分方程来回答这些问题。

首先，根据题目中的条件，可以得到微分方程：

dv/dt = k * v^a
dk/dt = -b * k

其中，`v` 表示肿瘤大小，`k` 表示比例系数。这是一个耗散系统，因为比例系数 `k` 随时间逐渐减小，最终趋于零。

(1) 当 `a=1` 时，该微分方程的解析解为：

v(t) = sqrt(v0^2 + 2 * k0 * t / b) - k0 / b

其中，`v0` 和 `k0` 分别为初始值，即 `v(0) = 1`，`k(0) = 2`。因为 `k` 随时间逐渐减小，所以 `v(t)` 也会随时间逐渐减小，最终趋于一个有限值。当 `t` 趋于无穷大时，`v(t)` 趋于：

v_inf = -k0 / b

所以肿瘤生长不会超过 `-k0 / b`。

(2) 我们可以通过数值计算来画出 `v` 和 `k` 随时间变化的图像。具体地，可以使用 Matlab 等数学软件来求解微分方程，并绘制出 `v` 和 `k` 随时间变化的曲线。下面是 Matlab 的代码示例：

% 定义微分方程
a = 1;
b = 0.1;
k0 = 2;
v0 = 1;
f = @(t, y) [k0 * y(1)^a; -b * y(2)];

% 求解微分方程
[t, y] = ode45(f, [0 10], [v0 k0]);

% 绘制图像
subplot(2, 1, 1);
plot(t, y(:, 1));
xlabel('时间');
ylabel('肿瘤大小');

subplot(2, 1, 2);
plot(t, y(:, 2));
xlabel('时间');
ylabel('比例系数');

这段代码使用了 Matlab 中的 `ode45` 函数来求解微分方程，并绘制出 `v` 和 `k` 随时间变化的曲线。

(3) 肿瘤大小翻一倍相当于 `v(t) = 2 * v0`，将这个式子代入微分方程可得：

dt = (v^a / k) * dv

将上式从 `v0` 积分到 `2 * v0`，可得：

t_double = k0 / (2^(1/a) - 1)^(1/a+1) / b / (1-a)

其中，`t_double` 表示肿瘤大小翻一倍所需要的时间。

(4) 肿瘤生长速率由递增转为递减，即 `dv/dt` 的值从正数变为负数。因为 `dv/dt = k * v^a`，所以当 `v` 达到最大值时，`dv/dt` 的值将为零。因此，我们只需要找到 `v` 的最大值即可。将微分方程两边取对数可得：

ln(v^a) = ln(k) + t * ln(v)

d(ln(v^a)) / dt = a * dv / v = d(ln(k)) / dt + d(t * ln(v)) / dt

a * dv / v = -b * k dt + a v / k dt

a * ln(v) = -b * k t + a ln(k) + C

其中，`C` 为常数。因为 `k` 随时间逐渐减小，所以 `a ln(k)` 的值也会随时间逐渐减小。因此，当 `t` 趋于无穷大时，`a ln(k)` 的值将趋于负无穷，从而使得 `a ln(v)` 的值随时间逐渐减小。因此，肿瘤生长速率由递增转为递减的时间无法确定。