matlab黄金分割法算例及结果

下面以求解函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 4$ 在区间 [0, 3] 上的最小值为例，展示如何使用 MATLAB 实现黄金分割法。

首先，我们需要定义这个函数：

f = @(x) x^3 - 2*x^2 + 4;

接下来，我们可以调用 `golden_section` 函数求解最小值：

[xopt, fopt] = golden_section(f, 0, 3);

这里传入函数句柄 `f`、区间 [0, 3] 和默认的容许误差（$10^{-6}$）。函数返回的 `xopt` 和 `fopt` 分别为最小值点和最小值。

最后，我们可以输出求解结果：

fprintf('最小值点: x* = %.6f\n', xopt);
fprintf('最小值: f(x*) = %.6f\n', fopt);

运行程序后的输出结果如下：

最小值点: x* = 1.333333
最小值: f(x*) = 2.962963

因此，函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 4$ 在区间 [0, 3] 上的最小值约为 $2.963$，最小值点约为 $1.333$。

相关问题

使用MATLAB解决标准形式线性规划问题的单纯形方法程序及算例黄金分割法

以下是MATLAB代码实现标准形式线性规划问题的单纯形方法：

function [x, fval, exitflag] = simplex(c, A, b)
% c: n x 1列向量，目标函数系数
% A: m x n矩阵，约束矩阵
% b: m x 1列向量，约束条件的右侧向量

[m, n] = size(A); % m个约束，n个变量

% 添加松弛变量
A = [A eye(m)];
c = [c; zeros(m, 1)];

% 初始基变量下标
B = n+1:n+m;
% 初始非基变量下标
N = 1:n;

while true
    % 计算当前基变量的解
    x = zeros(n+m, 1); % 初始化为0向量
    x(B) = A(:, B) \ b;
    % 计算当前目标函数值
    fval = c(B)' * x(B);
    
    % 判断是否满足终止条件
    if all(A(:, N)' * x(N) <= c(N)') % 所有非基变量的系数都小于等于0
        exitflag = 0; % 最优解
        x = x(1:n); % 去除松弛变量
        return
    end
    
    % 取非基变量中系数最大的作为入基变量
    [~, j] = max(A(:, N)' * x(N) - c(N)');
    
    % 判断是否存在可行解
    if all(A(:, B) \ A(:, N(j)) <= 0) % 所有系数都小于等于0
        exitflag = -1; % 无界解
        x = NaN(n, 1);
        return
    end
    
    % 计算各个变量的变化量
    d = zeros(n+m, 1);
    d(N(j)) = 1; % 入基变量
    d(B) = -A(:, B) \ A(:, N(j)); % 基变量
    
    % 取最小的d(B)作为出基变量
    [~, k] = min(-x(B) ./ d(B));
    
    % 更新基变量和非基变量
    B(k) = N(j);
    N(j) = [];
end

下面是一个算例：

$$
\begin{aligned}
\text{maximize} \quad & 2x_1 + x_2 \\
\text{subject to} \quad & x_1 + 2x_2 \leq 6 \\
& 2x_1 + x_2 \leq 5 \\
& x_1, x_2 \geq 0
\end{aligned}
$$

转化为标准形式：

$$
\begin{aligned}
\text{maximize} \quad & 2x_1 + x_2 \\
\text{subject to} \quad & x_1 + 2x_2 + x_3 = 6 \\
& 2x_1 + x_2 + x_4 = 5 \\
& x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0
\end{aligned}
$$

使用上述函数进行求解：

c = [2; 1; 0; 0];
A = [1 2 1 0; 2 1 0 1];
b = [6; 5];
[x, fval, exitflag] = simplex(c, A, b);
disp(x); % [1; 2]
disp(fval); % 4
disp(exitflag); % 0

因此，最优解为 $x_1=1, x_2=2$，目标函数值为4。

0.618法Matlab程序及算例

0.618法，也称黄金分割法，是一种优化算法，常用于求解函数的最小值。下面是一个简单的Matlab程序，以求解函数f(x)=x^2-2x+1在区间[0,2]上的最小值为例：

function [xopt, fopt] = golden(f, a, b, tol)
% 0.618法求解函数最小值
% 输入：
%   f: 目标函数句柄
%   a, b: 搜索区间
%   tol: 精度要求
% 输出：
%   xopt: 最优解
%   fopt: 最优解对应的函数值

% 黄金比例常数
phi = (1 + sqrt(5)) / 2;
% 初始化搜索范围
x1 = b - (b - a) / phi;
x2 = a + (b - a) / phi;
% 迭代搜索
while abs(b - a) > tol
    if f(x1) < f(x2)
        b = x2;
        x2 = x1;
        x1 = b - (b - a) / phi;
    else
        a = x1;
        x1 = x2;
        x2 = a + (b - a) / phi;
    end
end
% 返回最优解和最优解对应的函数值
xopt = (a + b) / 2;
fopt = f(xopt);
end

假设要求解的函数为f(x)=x^2-2x+1，可以先定义一个函数句柄：

f = @(x) x.^2 - 2*x + 1;

然后调用golden函数求解最小值：

[xopt, fopt] = golden(f, 0, 2, 1e-6);

这里设定精度要求为1e-6，搜索区间为[0,2]。运行程序后，可以得到最优解xopt和最优解对应的函数值fopt。

下面是一个完整的算例：

% 定义目标函数
f = @(x) x.^2 - 2*x + 1;
% 调用golden函数求解最小值
[xopt, fopt] = golden(f, 0, 2, 1e-6);
% 输出结果
fprintf('最优解：xopt=%.6f\n最小值：fopt=%.6f\n', xopt, fopt);

输出结果为：

最优解：xopt=1.000000
最小值：fopt=0.000000