（编程题）猴子吃桃问题。猴子第一天摘下若干个桃 子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。第二天早 上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天 早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上 想再吃时就只剩一个桃子了。求第一天共摘多少个桃 子。

这是一个经典的编程动态规划问题，通常称为“猴子吃桃”或“斐波那契兔子”的变体。我们可以设第一天摘下的桃子数为`n`。按照题目描述，每一天猴子吃掉的是前一天剩下的一半加一个。所以：

- 第一天：吃掉了`n / 2 + 1`个
- 第二天：吃掉了`(n / 2 + 1) / 2 + 1 = n / 4 + 3 / 4 + 1`
- ...
- 第十天：吃掉的是1个

第十天只剩下1个桃子，说明第九天结束时有2个桃子（因为第十天吃了1个），以此类推，我们可以逆向计算出第一天的数量。

我们从第十天倒推回去，用一个循环或递归的方式来解决这个问题。下面是Python的一个简单解法：

def monkey_grapes(total_days):
    if total_days == 1:
        return 1
    
    # 用total_days - 1表示前一天
    return (monkey_grapes(total_days - 1) * 2 + 1)

# 第一天的桃子数
peaches_first_day = monkey_grapes(10)
peaches_first_day 

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【编程题】猴子吃桃问题： 猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个，第二天早上又将剩下的桃子吃了一半，又多吃一个，以后每天都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想再吃时，见只剩下一个桃子。求第一天共摘了多少个？

设第一天摘了 x 个桃子，则经过第一天的摘取和吃掉，还剩下 $\frac{x}{2}-1$ 个桃子。

经过第二天的摘取和吃掉，还剩下 $\frac{(\frac{x}{2}-1)}{2}-1$ 个桃子。

以此类推，经过 9 天的摘取和吃掉，还剩下 $\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{(\frac{x}{2}-1)}{2}-1)}{2}-1)}{2}-1)}{2}-1)}{2}-1)}{2}-1)}{2}-1$ 个桃子。

根据题意，第 10 天早上只剩下了 1 个桃子，因此上述表达式等于 1。

解方程得到 $x=1534$，因此第一天共摘了 1534 个桃子。

（猴子吃桃子）猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个， 第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个. 以后每天早上都吃前一天剩下的 一半零一个. 到第 10 天早上想再吃时，见只剩下一个桃子了. 求第一天共摘多少个桃 子？请用递归算法编程解决该问题.

这道题可以使用递归算法来解决。我们可以从第 10 天往前推，得到第 9 天剩下的桃子数量，然后再往前推，一直到第 1 天摘下的桃子数量。

具体算法如下：

1. 定义一个递归函数，输入参数为天数n和第n天剩下的桃子数量remain。

2. 如果n等于10，说明已经推到了第 10 天，此时如果remain等于1，说明第一天摘下的桃子数量符合条件，返回即可；否则返回-1表示无解。

3. 否则，根据题目描述，第n天剩下的桃子数量应该是前一天剩下的桃子数量减去多吃的一个再乘以2，即 remain = (remain + 1) * 2。

4. 然后递归调用函数，输入参数为n-1和当前剩余的桃子数量remain。

下面是递归函数的实现：

def calc_peach(n, remain):
    if n == 10:
        if remain == 1:
            return 1
        else:
            return -1
    else:
        remain = (remain + 1) * 2
        return calc_peach(n+1, remain)

我们可以从第一天开始尝试，调用 `calc_peach(1, 1)`，如果返回值为-1，则第一天摘下的桃子数量不符合条件，我们需要尝试更大的数；如果返回值为正数，则说明找到了符合条件的数量，即为第一天摘下的桃子数量。