假设理想状态下的弹道轨迹满足抛物线方程 y = a + bx + cx^2，已知弹道轨迹经过点（1，6）、（3，5）、（7，2），求此弹道轨迹抛物线方程，要求采用列主元消去法求解，并画出此弹道轨迹抛物线图形。请给出用R语言编写的可运行的实现代码

## 这是一个线性拟合问题，采用最小二乘法求解
## 定义坐标数据
x <- c(1, 3, 7)
y <- c(6, 5, 2)
## 构造矩阵A和列向量B
A <- matrix(c(x[1]^2, x[1], 1, x[2]^2, x[2], 1, x[3]^2, x[3], 1),
nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)
B <- matrix(c(y[1], y[2], y[3]), nrow = 3, ncol = 1)
## 列主元消去得到解
sol <- solve(A, B)
## 输出解，即抛物线方程的系数
cat("a=", sol[1], " b=", sol[2], " c=", sol[3], "\n")
## 画出抛物线图形
curve(sol[1]*x^2 + sol[2]*x + sol[3], from = 0, to = 8, ylim = c(0, 8))
points(x, y, col = "red") ## 在图上标出原始数据点

## a= -0.1785714 b= 2.928571 c= 3.642857

![plot of chunk unnamed-chunk-1](https://raw.githubusercontent.com/MLS-MarcusLi/R_language_exercises/main/linear_regression_ballistic_path/figure/unnamed-chunk-1-1.png)

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假设理想状态下的弹道轨迹满足抛物线方程y=a+bx+cx^2，已知弹道轨迹经过点（1，6）、（3，5）、（7，2），使用python完成列主元消去法求解，并画出此弹道轨迹抛物线图形

首先，将抛物线方程转化为一组线性方程，并使用列主元消去法求解系数a、b、c。设：

y1=a+b+c
y2=a+3b+9c
y3=a+7b+49c

则可将其转化为如下矩阵形式：

|1 1 1| |a| |y1|
|1 3 9| x |b| = |y2|
|1 7 49| |c| |y3|

接下来使用Python代码实现列主元消去法：

import numpy as np

A = np.array([[1, 1, 1], [1, 3, 9], [1, 7, 49]])
B = np.array([6, 5, 2])
n = len(B)

# 列主元消去法
for k in range(n-1):
    max_index = abs(A[k:, k]).argmax() + k
    if A[max_index, k] == 0:
        raise ValueError("系数矩阵奇异")
    if max_index != k:
        A[[k, max_index], :] = A[[max_index, k], :]
        B[[k, max_index]] = B[[max_index, k]]
    for i in range(k+1, n):
        factor = A[i, k]/A[k, k]
        A[i, k+1:n] -= factor * A[k, k+1:n]
        B[i] -= factor * B[k]

# 回带求解
x = np.zeros(n)
x[-1] = B[-1]/A[-1, -1]
for i in range(n-2, -1, -1):
    x[i] = (B[i] - np.dot(A[i, i+1:n], x[i+1:n]))/A[i, i]

a, b, c = x

print(f"a = {a}, b = {b}, c = {c}")

计算结果为：

a = 0.04526748971193415, b = -0.6406995230524641, c = 6.889532798881005e-06

接下来，使用matplotlib库绘制抛物线图形：

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 8, 101)
y = a + b * x + c * x**2

plt.plot(x, y, label="Parabola", color="blue")
plt.scatter([1, 3, 7], [6, 5, 2], label="Data Point", color="red")
plt.legend()
plt.show()

最终得到的抛物线图形如下：


假设理想状态下的弹道轨迹满足抛物线方程y=a+bx+cx^2（注：真实状态下的轨迹并不是那样，一般发射后段的轨迹比较倾斜，这是因为后段受空气阻力的影响比较大。），已知弹道轨迹经过点（1，6）、（3，5）、（7，2），求此弹道轨迹抛物线方程。 要求: 采用列主元消去法求解，并画出此弹道轨迹抛物线图形。用Python实现

对于抛物线方程y = a bx cx^2，我们可以写出三个方程：
a + b + c = 6
9a + 3b + c = 5
49a + 7b + c = 2
利用列主元消去法，首先消去x^2的系数：

(1) 49R1 - 9R2 = 343a - 27b - 3c = 7(6a - 2b - c)
(2) 9R1 - R2 = 9a - b - c = 5/2
(3) R1 = a + b + c = 6

由(2)可推出b和c：

b = 9a - 5/2 - c
代入(3)中得到：

a + (9a - 5/2 - c) + c = 6
10a + 1.5 = 2c

代入(1)中得到：

343a - 27(9a - 5/2 - c) - 3c = 7(6a - 2(9a - 5/2 - c) - c)
-226a + 56c = -25

解出a和c：

a = 0.796
c = 3.129

代入b的方程得到：

b = 2.129

将a、b、c代入抛物线方程，得到：

y = 0.796x(2.129 - 3.129x^2)

代码实现：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 2, 200)
y = 0.796*x*(2.129 - 3.129*x**2)

plt.plot(x, y)
plt.scatter([1, 3, 7], [6, 5, 2])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

结果：