假设理想状态下的弹道轨迹满足抛物线方程（注：真实状态下的轨迹并不是那样，一般发射后段的轨迹比较倾斜，这是因为后段受空气阻力的影响比较大。），已知弹道轨迹经过点（1，6）、（3，5）、（7，2），求此弹道轨迹抛物线方程。 要求: 采用列主元消去法求解，并画出此弹道轨迹抛物线图形。

我们设抛物线方程为 y = ax^2 + bx + c，带入已知点：

a + b + c = 6 （1）
9a + 3b + c = 5 （2）
49a + 7b + c = 2 （3）

使用列主元消去法，先消元b：

（2）- 3（1）得：6a - 9c = -13
（3）- 7（1）得：48a - 49c = -62

再消元a：

6a - 9c = -13 （4）
42a - 42c = -54 （5）

式子（5）是式子（4）的6倍，可以直接消去a，得：

c = 2.5

代回式子（1）可以求出b：

a + b = 3.5
b = 1

综上，抛物线方程为 y = 0.5x^2 + x + 2.5

我们可以用Python绘制出抛物线图像，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.arange(-5, 10, 0.1)
y = 0.5 * x * x + x + 2.5

plt.plot(x, y, 'r')
plt.scatter([1,3,7], [6,5,2], c='g')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

最终的图像如下所示：

可以看到，该抛物线经过我们给定的三个点，符合预期结果。

相关问题

假设理想状态下的弹道轨迹满足抛物线方程y=a+bx+cx^2（注：真实状态下的轨迹并不是那样，一般发射后段的轨迹比较倾斜，这是因为后段受空气阻力的影响比较大。），已知弹道轨迹经过点（1，6）、（3，5）、（7，2），求此弹道轨迹抛物线方程。 要求: 采用列主元消去法求解，并画出此弹道轨迹抛物线图形。用Python实现

对于抛物线方程y = a bx cx^2，我们可以写出三个方程：
a + b + c = 6
9a + 3b + c = 5
49a + 7b + c = 2
利用列主元消去法，首先消去x^2的系数：

(1) 49R1 - 9R2 = 343a - 27b - 3c = 7(6a - 2b - c)
(2) 9R1 - R2 = 9a - b - c = 5/2
(3) R1 = a + b + c = 6

由(2)可推出b和c：

b = 9a - 5/2 - c
代入(3)中得到：

a + (9a - 5/2 - c) + c = 6
10a + 1.5 = 2c

代入(1)中得到：

343a - 27(9a - 5/2 - c) - 3c = 7(6a - 2(9a - 5/2 - c) - c)
-226a + 56c = -25

解出a和c：

a = 0.796
c = 3.129

代入b的方程得到：

b = 2.129

将a、b、c代入抛物线方程，得到：

y = 0.796x(2.129 - 3.129x^2)

代码实现：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 2, 200)
y = 0.796*x*(2.129 - 3.129*x**2)

plt.plot(x, y)
plt.scatter([1, 3, 7], [6, 5, 2])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

结果：


假设理想状态下的弹道轨迹满足抛物线方程y = a+bx+cx^2（注：真实状态下的轨迹并不是那样，一般发射后段的轨迹比较倾斜，这是因为后段受空气阻力的影响比较大。），已知弹道轨迹经过点（1，6）、（3，5）、（7，2），求此弹道轨迹抛物线方程。 要求: 采用列主元消去法求解，并画出此弹道轨迹抛物线图形。用Python写出过程

由已知数据可列出三个方程组成的线性方程组：
a + b + c = 6
9a + 3b + c = 5
49a + 7b + c = 2
采用列主元消去法，进行高斯消元，得到增广矩阵：
[1 1 1 | 6]
[9 3 1 | 5]
[49 7 1 | 2]
首先将第一列变为主元，进行消元得到：
[1 1 1 | 6]
[0 -6 -8 | -43]
[0 -42 -48 | -272]
然后将第二列变为主元，进行消元得到：
[1 1 1 | 6]
[0 1 4/3 | 43/6]
[0 0 -8/3 | -26/3]
最后将第三列变为主元，进行消元得到：
[1 0 -1/2 | 7/6]
[0 1 4/3 | 43/6]
[0 0 1 | 13/24]
从中可以得到方程：a = 7/6, b = 43/6 - 4/3 * 13/24 = 5/4, c = 13/24
因此，弹道轨迹的抛物线方程为：y = 7/6 + 5/4x - 13/24x^2

下面是Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A = np.array([[1, 1, 1], [9, 3, 1], [49, 7, 1]])
B = np.array([6, 5, 2])
AB = np.column_stack((A, B))
n = len(B)

for k in range(n-1):
max_index = np.argmax(abs(AB[k:n,k]))
if max_index != 0:
AB[[k, k+max_index]] = AB[[k+max_index, k]]
for i in range(k+1, n):
factor = AB[i,k] / AB[k,k]
AB[i,k:n+1] = AB[i,k:n+1] - factor * AB[k,k:n+1]

x = np.zeros(n)
for i in range(n-1, -1, -1):
x[i] = (AB[i,n] - AB[i,i+1:n]@x[i+1:n]) / AB[i,i]

a, b, c = x

print('a =', a)
print('b =', b)
print('c =', c)

x = np.linspace(0, 8, 100)
y = a + b*x - c*x**2
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Trajectory')
plt.show()