最优二叉搜索树 动态规划

最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree, 简称OBST）是指一种满足以下条件的二叉搜索树：

1. 对于任意一个节点，其左子树中的所有节点的值都比该节点的值小，右子树中的所有节点的值都比该节点的值大。

2. 对于一个节点，其左子树和右子树分别也是一棵二叉搜索树。

3. 对于给定的一组关键字，OBST的平均搜索代价（即搜索某个关键字所需的比较次数）最小。

为了求解OBST，我们可以使用动态规划算法。具体地，我们可以先将关键字按照其大小排序，然后定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示关键字i到j构成的子树的最小搜索代价。具体的状态转移方程为：

dp[i][j] = min{dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + w(i,j)} (i <= k <= j)

其中，w(i,j)表示关键字i到j的权值之和。这个权值可以是它们在搜索树中出现的概率，也可以是它们在搜索树中出现的频率。最终的答案即为dp[1][n]，其中n为给定的关键字个数。

在计算dp数组时，我们可以使用一个辅助数组root，其中root[i][j]表示关键字i到j子树的根节点编号。具体地，我们可以枚举i到j中的每个节点k，计算dp[i][j]的值，并更新root[i][j]的值为k。最后，我们可以根据root数组构造出OBST的结构。

时间复杂度为O(n^3)，其中n为关键字的个数。

相关问题

最优二叉搜索树动态规划

最优二叉搜索树问题是一个经典的动态规划问题，旨在找到一棵二叉搜索树，使得在给定的概率分布下，查找任意元素的期望代价最小化。

解决这个问题的动态规划算法可以分为以下几个步骤：

1. 首先，我们需要将给定的元素按照升序排序，并计算出每个元素的概率。

2. 接下来，我们构建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从第i个元素到第j个元素构成的子数组的最优二叉搜索树的期望代价。

3. 然后，我们可以通过填充dp数组的方式来逐步计算最优解。具体地，我们从长度为1的子数组开始，然后逐步增加子数组的长度，直到整个数组。对于每个子数组，我们通过枚举根节点的位置来计算出最小的期望代价。

4. 在计算dp[i][j]时，我们可以考虑将每个元素k作为根节点，然后将子数组划分为左子树和右子树。左子树由元素i到k-1构成，右子树由元素k+1到j构成。然后，我们可以通过dp[i][k-1]和dp[k+1][j]来计算左子树和右子树的期望代价，并将它们与当前根节点的代价相加。

5. 最后，我们可以通过遍历不同的根节点位置，选择最小的代价作为dp[i][j]的值。

总结起来，最优二叉搜索树问题的动态规划算法主要通过填充二维数组dp来计算最优解。具体的步骤包括排序元素、初始化dp数组、计算dp数组的值，并通过选择最小代价来确定最优解。通过这种方法，我们可以找到在给定概率分布下查找元素的最优二叉搜索树。

参考文献：
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最优二叉搜索树动态规划C语言

以下是最优二叉搜索树的动态规划实现的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

// 定义一个宏，用于计算二维数组中的一维下标
#define INDEX(i, j, size) ((i) * (size) + (j))

// 返回最小值的索引
int min_index(float *arr, int start, int end) {
    int min_i = start;
    for (int i = start + 1; i <= end; i++) {
        if (arr[i] < arr[min_i]) {
            min_i = i;
        }
    }
    return min_i;
}

// 计算最优二叉搜索树的成本
float optimal_bst(float *p, float *q, int n) {
    // DP数组，存储子问题的最优解
    float dp[n][n];
    // 记录子树根节点
    int root[n][n];

    // 初始化DP数组
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[i][j] = 0;
            root[i][j] = -1;
        }
    }

    // 处理只有一个节点的情况
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][i] = q[i];
        root[i][i] = i;
    }

    // 处理长度为2~n的情况
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 0; i <= n - len; i++) {
            int j = i + len - 1;
            dp[i][j] = INT_MAX;

            // 计算子问题的最优解
            for (int k = i; k <= j; k++) {
                float cost = dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j] + p[k];
                if (cost < dp[i][j]) {
                    dp[i][j] = cost;
                    root[i][j] = k;
                }
            }
            dp[i][j] += q[j];
        }
    }

    // 返回根节点为0的最小成本
    return dp[0][n - 1];
}

int main() {
    float p[] = {0.15, 0.10, 0.05, 0.10, 0.20};
    float q[] = {0.05, 0.10, 0.05, 0.05, 0.05, 0.10};

    int n = sizeof(p) / sizeof(p[0]);
    float cost = optimal_bst(p, q, n);
    printf("最优二叉搜索树的成本为：%.2f\n", cost);

    return 0;
}

上述代码中，使用了一个 `INDEX` 宏来计算二维数组中对应一维数组的下标，避免了手动计算的麻烦。在 `optimal_bst` 函数中，使用了一个二维的DP数组 `dp` 和一个二维的 `root` 数组，分别用于存储子问题的最优解和子树的根节点。首先，初始化只有一个节点的情况。然后，用长度递增的方式依次计算子问题的最优解，最终返回根节点为0的最小成本。

在 `main` 函数中，定义了节点概率数组 `p` 和外部节点概率数组 `q`，并计算最优二叉搜索树的成本。最终输出结果。

以上就是最优二叉搜索树的动态规划实现的C语言代码。