周期为T，幅度为±A的三角波的傅里叶级数展开

三角波可以表示为周期为$T$、幅度为$2A$的方波的卷积。因此，我们可以使用方波的傅里叶级数展开来求解三角波的展开式。

方波的傅里叶级数展开为：

$$
f(t)=\frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin((2n-1)\omega t)}{2n-1}
$$

其中，$\omega=\frac{2\pi}{T}$是角频率。

将三角波表示为方波的卷积形式：

$$
g(t)=\frac{4A}{\pi}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{2n+1}\right)*\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)
$$

其中，$*$表示卷积运算。

展开卷积式中的第一项：

$$
\begin{aligned}
\frac{4A}{\pi}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{2n+1}\right) &=\frac{2A}{\pi}\left[\sin(\omega t)+\frac{\sin(3\omega t)}{3}+\frac{\sin(5\omega t)}{5}+\cdots\right]\\
&=\frac{2A}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{2n+1}
\end{aligned}
$$

将展开式带回卷积式：

$$
g(t)=\frac{8A}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{(2n+1)^2}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-mT)
$$

由于$\delta(t)$是周期为$T$的函数，因此，只有当$m=0$时，卷积项才存在非零值。因此：

$$
\sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-mT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi}{T}kt}
$$

将其代入卷积式中，得到三角波的傅里叶级数展开式：

$$
\begin{aligned}
g(t)&=\frac{8A}{\pi T}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{(2n+1)^2}\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi}{T}kt}\\
&=\frac{8A}{\pi T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{(2n+1)^2} e^{j\frac{2\pi}{T}kt}\\
&=\frac{8A}{\pi T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} e^{j\frac{2\pi}{T}(2n+1)kt}
\end{aligned}
$$

因此，三角波的傅里叶级数展开式为：

$$
g(t)=\frac{8A}{\pi T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} e^{j\frac{2\pi}{T}(2n+1)kt}
$$