三角波的傅里叶级数展开式

三角波是一个周期为 $2\pi$，在一个周期内由两个等斜率的直线和一个垂直于 $x$ 轴的线段组成的函数。它的数学表达式为：

$$
f(x) = \begin{cases}
x + \pi, & -\pi \leq x < 0 \\
-\left(x - \pi\right), & 0 \leq x < \pi \\
f(x+2\pi), & x \geq \pi
\end{cases}
$$

要求三角波的傅里叶级数展开式，需要先求出其基本周期 $T=2\pi$ 内的系数 $c_n$：

$$
c_n = \frac{1}{T} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-i n x} dx
$$

其中 $i=\sqrt{-1}$，$n$ 为正整数。将三角波的表达式代入上式，可以得到：

$$
c_n = \begin{cases}
\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{in}, & n \textrm{为奇数} \\
0, & n \textrm{为偶数}
\end{cases}
$$

因此，三角波的傅里叶级数展开式为：

$$
f(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \sin\left[(2n+1)x\right]
$$

其中，$n$ 为奇数。

相关问题

周期为T，幅度为±A的三角波的傅里叶级数展开

三角波可以表示为周期为$T$、幅度为$2A$的方波的卷积。因此，我们可以使用方波的傅里叶级数展开来求解三角波的展开式。

方波的傅里叶级数展开为：

$$
f(t)=\frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin((2n-1)\omega t)}{2n-1}
$$

其中，$\omega=\frac{2\pi}{T}$是角频率。

将三角波表示为方波的卷积形式：

$$
g(t)=\frac{4A}{\pi}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{2n+1}\right)*\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)
$$

其中，$*$表示卷积运算。

展开卷积式中的第一项：

$$
\begin{aligned}
\frac{4A}{\pi}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{2n+1}\right) &=\frac{2A}{\pi}\left[\sin(\omega t)+\frac{\sin(3\omega t)}{3}+\frac{\sin(5\omega t)}{5}+\cdots\right]\\
&=\frac{2A}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{2n+1}
\end{aligned}
$$

将展开式带回卷积式：

$$
g(t)=\frac{8A}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{(2n+1)^2}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-mT)
$$

由于$\delta(t)$是周期为$T$的函数，因此，只有当$m=0$时，卷积项才存在非零值。因此：

$$
\sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-mT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi}{T}kt}
$$

将其代入卷积式中，得到三角波的傅里叶级数展开式：

$$
\begin{aligned}
g(t)&=\frac{8A}{\pi T}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{(2n+1)^2}\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi}{T}kt}\\
&=\frac{8A}{\pi T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin((2n+1)\omega t)}{(2n+1)^2} e^{j\frac{2\pi}{T}kt}\\
&=\frac{8A}{\pi T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} e^{j\frac{2\pi}{T}(2n+1)kt}
\end{aligned}
$$

因此，三角波的傅里叶级数展开式为：

$$
g(t)=\frac{8A}{\pi T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} e^{j\frac{2\pi}{T}(2n+1)kt}
$$

三角形波的傅里叶逆变换

三角形波是一种周期为 $T$ 的函数，其波形类似于等腰直角三角形。根据傅里叶级数的理论，任意周期为 $T$ 的函数都可以表示为一组正弦函数和余弦函数的和。三角形波的傅里叶级数展开式为：

$$f(x) = \frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\sin\left(\frac{2n+1}{T}\pi x\right)$$

其中，$n$ 为正整数，$\pi$ 是圆周率。

而三角形波的傅里叶逆变换则是将其傅里叶级数展开式反过来求解，即：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{2n+1}{T}\pi x\right)$$

其中，$c_n$ 表示三角形波的傅里叶系数，计算公式为：

$$c_n = \frac{4}{\pi^2(2n+1)^2}$$

如果需要求出三角形波的具体函数形式，可以根据上述公式进行求和计算。