夏天把开有空调的室内一支读数为a的温度计放到户外,10分钟后读数b,再过10分钟后读数为c.建立一个合理的微分方程模型来推算户外温度
时间: 2023-04-06 19:05:12 浏览: 92
我可以回答这个问题。假设室内温度为 $T_i$,室外温度为 $T_o$,则根据热传递定律,有:
$$\frac{dQ}{dt} = kA(T_i - T_o)$$
其中,$dQ$ 表示热量的变化量,$k$ 表示热传导系数,$A$ 表示温度计的表面积。由于温度计的质量很小,可以忽略其对温度的影响,因此可以假设温度计的温度与室外温度相同,即 $T_o = T$。又因为 $dQ = mc\frac{dT_i}{dt}$,其中 $m$ 表示温度计的质量,$c$ 表示温度计的比热容,因此可以得到微分方程:
$$mc\frac{dT_i}{dt} = kA(T_i - T)$$
化简得:
$$\frac{dT_i}{dt} = \frac{kA}{mc}(T - T_i)$$
这是一个一阶线性微分方程,可以用常数变易法求解。假设 $T_i = T_0$ 时,$t = 0$,则有:
$$T_i = T + (T_0 - T)e^{-\frac{kA}{mc}t}$$
根据题目中的条件,可以列出以下方程组:
$$\begin{cases}
T + (a - T)e^{-\frac{kA}{mc}10} = b \\
T + (a - T)e^{-\frac{kA}{mc}20} = c
\end{cases}$$
解得:
$$\begin{aligned}
T &= \frac{a - \frac{b+c}{2}}{1 - e^{-\frac{kA}{mc}10}} \\
\frac{kA}{mc} &= \frac{1}{10}\ln\frac{a-T}{a-b} = \frac{1}{10}\ln\frac{a-T}{a-c}
\end{aligned}$$
因此,户外温度为 $T$,微分方程模型为:
$$\frac{dT_i}{dt} = \frac{1}{10mc}\ln\frac{a-T}{a-b}(T - T_i)$$
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