详细介绍一下Johnson算法

Johnson算法是一种求解图中最短路径的算法，能够有效地处理含有负权边的图。它的核心思想是通过对图进行变换，将所有边的权值变为非负数，然后使用Dijkstra算法求解最短路径。具体来说，Johnson算法分为以下几个步骤：

1. 添加一个虚拟节点S，并将S与图中所有节点相连，权值为0。
2. 对新图进行一次Bellman-Ford算法，求出S到每个节点的最短距离。如果发现存在负环路，则说明图中不存在最短路径。
3. 通过对图中每个边的权值进行修改，使其变为非负数。具体来说，对于一条从节点u到节点v的边，将其权值修改为原始权值加上节点u到节点v的最短距离之差。即：w(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v)，其中h(u)为从S到u的最短距离。
4. 对修改后的图，对每个节点运行Dijkstra算法，求出S到每个节点的最短距离。由于所有边的权值均为非负数，因此Dijkstra算法能够正确地求解最短路径。
5. 对于最终求得的最短路径，需要将其还原为原始图中的路径。具体来说，对于一条从节点u到节点v的路径，将其权值修改为原始权值减去节点u到节点v的最短距离之差。即：w'(u,v) = w(u,v) - h(u) + h(v)。

Johnson算法的时间复杂度为O(V^2logV + VE)，其中V为节点数，E为边数。由于需要进行Bellman-Ford算法和Dijkstra算法，因此时间复杂度较高。但是相比于直接对含有负权边的图运行Dijkstra算法，Johnson算法的时间复杂度要小得多。

相关问题

Edmonds-Johnson算法

Edmonds-Johnson算法，也称为“强连通分量分解算法”，是一种用于寻找有向图中强连通分量的算法。它的时间复杂度为 $O(V^2)$ 或者 $O(VE)$，其中 $V$ 为节点数，$E$ 为边数。

该算法的基本思想是：首先对原图进行拓扑排序，然后对拓扑序列中的每个节点，将与该节点相连的所有节点标记为同一强连通分量。最终，所有标记相同的节点即为一个强连通分量。

具体实现时，可以使用深度优先搜索（DFS）来遍历图，并记录每个节点被遍历的次序和能够到达的最小次序（low）。对于每个节点，如果它的最小次序等于自身次序，则该节点为一个强连通分量的根节点，从该节点开始的所有遍历都属于同一强连通分量。

总的来说，Edmonds-Johnson算法是一种有效的寻找强连通分量的算法，但是在实际应用中，常常被其他更加高效的算法所取代。

johnson trotter算法表示c语言

Johnson-Trotter算法通常用于解决八皇后问题，这是一个经典的计算机科学问题，目的是在一个8x8的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不会在同一行、同一列或同一条对角线上。这个算法并不是直接用C语言实现的，而是描述了一个策略，它将搜索过程分解成一系列的步骤，每一步都是在保证安全的情况下移动皇后。

在C语言中，你可以编写一个递归函数或者迭代的方式来模拟这个算法。首先，你需要定义一个二维数组来代表棋盘，然后维护一些变量来记录当前的皇后位置以及它们所在的行、列和对角线。当找到一个合法的位置后，你会更新这些变量，并尝试在相邻的行或列上放置下一个皇后，直到所有皇后都被放置好。

下面是一个简单的伪代码框架：

void johnson_trotter(int board[8][8], int row) {
    // 初始化皇后位置等变量
    // ...

    if (row == 8) {
        // 所有皇后都放置完毕，打印解决方案
        print_board(board);
    } else {
        for (int col = 0; col < 8; ++col) {
            // 检查当前位置是否安全
            if (is_safe(board, row, col)) {
                // 安全，放置皇后并继续下一行
                place_queen(board, row, col);
                johnson_trotter(board, row + 1); // 递归调用
                remove_queen(board, row, col); // 回溯，移除皇后
            }
        }
    }
}

// 辅助函数：检查位置、放置皇后和回溯
bool is_safe(), place_queen(), remove_queen();