利用bptt反向传播的数学公式
时间: 2024-01-22 22:53:54 浏览: 28
BPTT(Backpropagation Through Time,时序反向传播)是一种适用于循环神经网络(RNN)的反向传播算法。它的数学公式如下:
首先,假设我们有一个由时间步组成的序列,每个时间步输入一个向量$x_t$,输出一个向量$y_t$。设$W$为RNN的权重矩阵,$b$为偏置向量,$L$为损失函数,则在$t$时刻的损失为$E_t = L(y_t, t)$。整个序列的损失为$E = \sum_t E_t$。
假设我们需要计算关于权重矩阵$W$的梯度,则可以使用BPTT算法进行计算。该算法的第一步是按时间步展开RNN,这样我们得到一个由多个相同的神经网络组成的序列,每个网络在$t$时刻接收$x_t$作为输入,输出$y_t$,并且其内部状态$h_t$在时间步之间传递。
然后,我们可以使用标准的反向传播算法来计算每个时间步的梯度。对于$t$时刻的神经网络,我们可以计算出损失函数对其输出$y_t$的梯度$\frac{\partial E_t}{\partial y_t}$。然后,我们可以使用链式法则计算出损失函数对内部状态$h_t$的梯度$\frac{\partial E_t}{\partial h_t}$。接下来,我们可以将状态$h_t$的梯度向后传递到$t-1$时刻的网络中,计算损失函数对$t-1$时刻的输出$y_{t-1}$和状态$h_{t-1}$的梯度,并继续向后传递。最终,我们可以计算出损失函数对权重矩阵$W$和偏置向量$b$的梯度。
具体来说,对于$t$时刻的神经网络,假设其输出$y_t$和内部状态$h_t$为:
$$y_t = f(W_h h_t + W_x x_t + b)$$
$$h_t = g(W_h h_{t-1} + W_y y_{t-1} + b)$$
其中$f$和$g$是激活函数,$W_x$、$W_h$、$W_y$和$b$是权重矩阵和偏置向量。损失函数对$y_t$的梯度为:
$$\frac{\partial E_t}{\partial y_t} = \frac{\partial L(y_t, t)}{\partial y_t}$$
损失函数对$h_t$的梯度为:
$$\frac{\partial E_t}{\partial h_t} = \frac{\partial E_t}{\partial y_t} \frac{\partial y_t}{\partial h_t} + \frac{\partial E_{t+1}}{\partial h_t} \frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_t}$$
其中第一项表示损失函数关于$t$时刻的输出$y_t$的梯度通过权重矩阵$W_h$和激活函数$f$向后传递到$t$时刻的状态$h_t$,第二项表示损失函数关于$t+1$时刻的状态$h_{t+1}$的梯度通过权重矩阵$W_h$和激活函数$g$向后传递到$t$时刻的状态$h_t$。这里我们假设损失函数在$t+1$时刻不再增加,即$\frac{\partial E_{t+1}}{\partial h_t}$为零。
对于$t$时刻的网络,损失函数对权重矩阵$W$和偏置向量$b$的梯度为:
$$\frac{\partial E_t}{\partial W_h} = \frac{\partial E_t}{\partial h_t} \frac{\partial h_t}{\partial W_h}$$
$$\frac{\partial E_t}{\partial W_x} = \frac{\partial E_t}{\partial h_t} \frac{\partial h_t}{\partial W_x}$$
$$\frac{\partial E_t}{\partial W_y} = \frac{\partial E_t}{\partial h_t} \frac{\partial h_t}{\partial W_y}$$
$$\frac{\partial E_t}{\partial b} = \frac{\partial E_t}{\partial h_t} \frac{\partial h_t}{\partial b}$$
其中$\frac{\partial h_t}{\partial W_h}$、$\frac{\partial h_t}{\partial W_x}$、$\frac{\partial h_t}{\partial W_y}$和$\frac{\partial h_t}{\partial b}$可以根据$h_t$的定义和链式法则计算得到。