在线性RNN上通过时间反向传播计算梯度。

在线性 RNN 上通过时间反向传播计算梯度的方法称为 BPTT（Backpropagation Through Time）。BPTT 是一种递归算法，用于计算 RNN 模型中的梯度。

在 BPTT 中，我们将 RNN 展开成一个时间步长序列，每个时间步长都是一个相同的网络结构。我们首先将输入序列 $x_1, x_2, ..., x_T$ 通过 RNN 模型得到输出序列 $y_1, y_2, ..., y_T$。然后我们定义损失函数 $L(y_1, y_2, ..., y_T)$，并计算损失函数对每个时间步长的输出的梯度 $\frac{\partial L}{\partial y_t}$。

接下来，我们使用链式法则计算每个时间步长的梯度。对于每个时间步长 $t$，我们需要计算 $\frac{\partial L}{\partial y_t}$，$\frac{\partial y_t}{\partial h_t}$ 和 $\frac{\partial h_t}{\partial h_{t-1}}$，其中 $h_t$ 是时间步长 $t$ 的隐藏状态。

$\frac{\partial L}{\partial y_t}$ 可以通过损失函数的定义直接计算。$\frac{\partial y_t}{\partial h_t}$ 和 $\frac{\partial h_t}{\partial h_{t-1}}$ 则可以通过 RNN 模型的前向传播和反向传播计算得到。然后我们可以使用链式法则将这些梯度相乘，计算出 $\frac{\partial L}{\partial h_{t-1}}$。这个过程可以一直往前传递，直到时间步长 $1$。

最后，我们可以使用这些梯度来更新模型的参数。具体地，我们可以使用随机梯度下降等优化算法来更新参数，以最小化损失函数。

总的来说，BPTT 是一种有效的算法，可以用于训练 RNN 模型。然而，由于 RNN 的时间步长可能很大，BPTT 很容易导致梯度消失或梯度爆炸问题。因此，我们需要采取一些技巧来解决这些问题，例如剪枝梯度、使用 LSTM 等。