最短路径算法-迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

迪杰斯特拉算法是一种用于求解带权有向图中单源最短路径的算法。它以一个起始节点为基准，逐步扩展到其他节点，通过不断更新节点的最短路径来找到起始节点到其他节点的最短路径。

算法的基本思想是从起始节点开始，先将起始节点到所有其他节点的距离初始化为无穷大，然后逐步更新距离，直到找到最短路径。具体步骤如下：

1. 初始化距离数组dist[]，表示起始节点到各个节点的最短距离。将起始节点的距离初始化为0，其他节点的距离初始化为无穷大。

2. 创建一个集合visited[]，用于记录已经求得最短路径的节点。

3. 重复以下步骤，直到所有节点都被访问过：
a. 从未访问过的节点中选择一个距离起始节点最近的节点，将其标记为visited[]。
b. 更新与该节点相邻的节点的最短距离。如果经过当前节点到达相邻节点的路径比原先的最短距离更短，则更新最短距离。

4. 最终，dist[]数组中存储的就是起始节点到各个节点的最短路径长度。

迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点数。该算法适用于边的权重非负的情况。如果希望在存在负权边的图中求解最短路径，则需要使用其他算法，如贝尔曼-福特算法或弗洛伊德算法。

相关问题

图的最短路径问题（迪杰斯特拉算法）

迪杰斯特拉算法是一种用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径的贪心算法。该算法的基本思想是：对于图中的一个源点，维护一个到该源点的距离数组，初始时，源点到自身的距离为0，其余点到源点的距离为无穷大。然后，每次从距离数组中选择一个距离最小的点，将该点加入到已确定最短路径的集合中，并更新该点的邻居节点的距离数组。重复该过程，直到所有节点都被加入到已确定最短路径的集合中。

下面是一个使用Python实现迪杰斯特拉算法的例子：

import sys

def dijkstra(graph, start):
    # 初始化距离数组
    dist = {node: sys.maxsize for node in graph}
    dist[start] = 0

    # 初始化已确定最短路径的集合
    visited = set()

    while len(visited) < len(graph):
        # 选择距离最小的点
        node = min(set(dist.keys()) - visited, key=dist.get)

        # 更新该点的邻居节点的距离数组
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            new_dist = dist[node] + weight
            if new_dist < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = new_dist

        # 将该点加入到已确定最短路径的集合中
        visited.add(node)

    return dist

# 测试
graph = {
    'A': {'B': 5, 'C': 1},
    'B': {'A': 5, 'C': 2, 'D': 1},
    'C': {'A': 1, 'B': 2, 'D': 4, 'E': 8},
    'D': {'B': 1, 'C': 4, 'E': 3, 'F': 6},
    'E': {'C': 8, 'D': 3},
    'F': {'D': 6}
}

start = 'A'
dist = dijkstra(graph, start)
print(dist)

上述代码中，我们使用了一个邻接表来表示图，其中每个节点都是一个字典，字典的键表示该节点的邻居节点，值表示该节点到邻居节点的边权重。在dijkstra函数中，我们首先初始化距离数组和已确定最短路径的集合，然后重复选择距离最小的点，并更新该点的邻居节点的距离数组，直到所有节点都被加入到已确定最短路径的集合中。最后，我们返回距离数组，即每个节点到起点的最短距离。

dijkstra邻接表_最短路径问题——迪杰斯特拉算法(Dijkstra)

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是一种贪心算法，用于解决最短路径问题。它可以处理有权有向图或无向图，但不允许有负权边（权重必须为非负数）。

算法思路：

1. 从起点开始，初始化所有节点的距离为无穷大，起点距离为0；

2. 将起点加入“已访问”集合；

3. 对于起点的所有邻居节点，更新它们的距离（如果通过当前节点到达邻居节点的距离小于邻居节点原有的距离，则更新邻居节点的距离）；

4. 从未访问集合中选择距离起点最近的节点，加入“已访问”集合；

5. 重复步骤3和4，直到所有节点都被加入“已访问”集合或者没有与起点相连的节点。

算法实现：

Dijkstra算法的实现通常使用优先队列（PriorityQueue）来维护未访问集合中距离起点最近的节点。具体实现步骤如下：

1. 创建一个空的优先队列Q，将起点加入Q中，并设置起点到自身的距离为0；

2. 创建一个数组dist[]，用于保存起点到各个节点的距离，初始化为无穷大；

3. 创建一个数组visited[]，用于标记节点是否被访问过，初始化为false；

4. 将dist[起点]的值设置为0；

5. 当Q不为空时，重复以下步骤：

a. 从Q中取出距离起点最近的节点u；

b. 如果节点u已经被访问过，则跳过此次循环；

c. 将节点u标记为已访问；

d. 对于节点u的每个邻居节点v，如果节点v未被访问过并且通过节点u到达节点v的距离小于dist[v]，则更新dist[v]的值；

e. 将节点v加入Q中。

6. 最终，dist数组中保存的就是起点到各个节点的最短距离。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为节点数。这是因为算法需要对每个节点的所有邻居节点进行遍历，而优先队列的插入和删除操作的时间复杂度为O(logV)。