Which of the following entailments hold in first-order logic? ∀X.P(X),∀X.P(X)⇒Q(X)⊨∀X.Q(X) (∃X.P(X))∧(∃X.Q(X))⊨∃X.P(X)∧Q(X)

根据引用\[1\]，第一个句子是一个全称量化的公式，表示对于所有的x，P(x)成立。根据引用\[2\]，第二个句子是一个存在量化的公式，表示存在一个x使得P(x)成立。根据引用\[3\]，第三个句子是关于高阶逻辑的陈述，与一阶逻辑不同。因此，我们只需要考虑第一个句子。

在一阶逻辑中，要判断一个蕴含式是否成立，我们需要考虑所有可能的模型。对于第一个蕴含式，我们假设存在一个模型，其中对于所有的x，P(x)成立。然后我们假设对于所有的x，P(x)⇒Q(x)也成立。根据这两个假设，我们可以得出结论，对于所有的x，Q(x)成立。因此，根据一阶逻辑的推理规则，我们可以得出结论，∀X.P(X),∀X.P(X)⇒Q(X)⊨∀X.Q(X)成立。

综上所述，第一个蕴含式在一阶逻辑中成立。
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [AI - First-order logic](https://blog.csdn.net/weixin_30764137/article/details/96066612)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
[ .reference_list ]