最小二乘线性拟合二次函数曲线的程序代码

下面是一个最小二乘线性拟合二次函数曲线的代码，该代码使用 Python 编写：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 构造数据点
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([1, 2, 1, 2, 1, 2])

# 构造二次函数模型
A = np.array([x**2, x, np.ones(len(x))]).T

# 最小二乘求解
a, b, c = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0]

# 生成拟合曲线
x_fit = np.linspace(x.min(), x.max(), 1000)
y_fit = a * x_fit**2 + b * x_fit + c

# 画图
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_fit, y_fit, 'r')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

这段代码对于一组 `x` 和 `y` 的数据点，构造一个二次函数的模型，使用最小二乘法求解该模型的系数，最后画图展示拟合结果。

相关问题

最小二乘问题的matlab程序

最小二乘问题（Least Squares Problem）的 Matlab 程序可以使用 Matlab 内置函数 `lsqcurvefit`。该函数可以用于拟合一般的非线性模型，求解最小化残差平方和的曲线拟合问题。

具体使用方法如下：

1. 定义目标函数

需要先定义一个目标函数，用于描述待拟合的非线性模型。以一元多项式拟合为例，目标函数可以定义为：

function y = polyfun(x, p)
y = p(1) + p(2)*x + p(3)*x.^2 + p(4)*x.^3;
end

其中 `p` 为待拟合的多项式系数，`x` 为自变量。

2. 生成拟合数据

需要生成一组拟合数据，包括 `x` 和 `y` 两个向量。以一元多项式拟合为例，可以生成如下数据：

x = linspace(0, 2*pi, 50);
y = sin(x) + 0.1*randn(size(x));

其中 `linspace` 用于生成等间距的向量，`randn` 用于生成随机噪声。

3. 调用 lsqcurvefit 函数

使用 `lsqcurvefit` 函数可以实现最小二乘拟合。以一元多项式拟合为例，可以使用如下代码：

p0 = [1, 1, 1, 1]; % 初始参数估计值
pfit = lsqcurvefit(@polyfun, p0, x, y);

其中 `p0` 为多项式系数的初值矩阵，第一个元素为常数项，后面依次为一次项、二次项、三次项的系数。`@polyfun` 表示目标函数，`x` 和 `y` 分别为拟合数据的自变量和因变量。

4. 输出拟合结果

最终拟合结果可以通过求得的多项式系数来计算。以一元多项式为例，可以使用如下代码计算拟合曲线：

yfit = polyfun(x, pfit);

最后，可以通过绘制原始数据和拟合曲线来观察拟合效果：

plot(x, y, 'ko', x, yfit, 'r-');
legend('Data', 'Fitted polynomial');