Given a, x, y, m ∈ Z, m > 0. Show that (i) (1 pt) ax ≡ ay (mod m) iff x ≡ y  mod gcd( m a, m)  . (ii) (1 pt) If ax ≡ ay (mod m) and gcd(a, m) = 1, then x ≡ y (mod m

).我理解您需要我解答一个数学问题。根据您的要求，我可以回答该问题。首先，我们来看第一个问题。如果 ax ≡ ay (mod m)，则有 ax = ay + km（其中k为整数）。将公式两边同时除以 gcd(m, a)，得到 (m, a) 是 gcd(m, a) 的倍数，即存在整数 t，使得 m = t gcd(m, a)、a = s gcd(m, a)。将这个结果带回原公式，得到 ts gcd(m, a) x ≡ ts gcd(m, a) y + (k/t) m。因为 gcd(m, a) 是 m 和 a 的最大公约数，所以 gcd(m/t, a/s) = 1。因此，公式可以进一步转化为 xs ≡ ys (mod m/t)，这里 m/t 和 a/s 都是整数。这也就证明了 x ≡ y (mod gcd(m, a))。

接着看第二个问题。如果 ax ≡ ay (mod m)，且 gcd(a, m) = 1，那么我们可以先假设 x, y 不相等。根据第一个问题，得到 a(x-y) ≡ 0 (mod m)。因为 gcd(a, m) = 1，所以 a(x-y) 只能被 m 整除，也就是 x-y 只能为 0。这证明了 x ≡ y (mod m)。

希望这样的解答可以帮助您解决问题。

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Given two sorted arrays L and R, design a linear (O(|L| + |R|)) time algorithm that counts the number of pairs (l, r) such that l ∈ L, r ∈ R and l > r.

我们可以使用双指针法来解决这个问题。首先，设置两个指针，分别指向L和R的首位元素。然后，比较L和R的首位元素，如果L的元素大于R的元素，则我们可以将R数组中该元素之后的每一个元素都与L数组中该元素构成一个大小对，然后将R指针右移一位，再重复此操作，直到R指针到达R数组的最后一个元素。之后，将L指针右移一位，重复此操作，直到L指针指向L数组的最后一个元素。这样，我们就能够在O(|L|*|R|)的时间复杂度内，计算出满足条件的大小对的数目。

．设函数u=x^3-xy^2-z,点M(1,1,0)则梯度gradu|M=

To find the gradient of a function at a point, we need to find the partial derivatives of the function with respect to each variable and evaluate them at the given point.

So,

∂u/∂x = 3x^2 - y^2
∂u/∂y = -2xy
∂u/∂z = -1

At point M(1,1,0), we have:

∂u/∂x|M = 3(1)^2 - (1)^2 = 2
∂u/∂y|M = -2(1)(1) = -2
∂u/∂z|M = -1

Therefore, the gradient of u at point M is:

grad u|M = (2, -2, -1)