x[n]是周期信号，y[n]=x[n/2],n为偶数；y[n]=0，n为奇数。如何证明y[n]也是周期信号

要证明 y[n] 也是一个周期信号，我们需要证明存在一个正周期 T，使得对于任意 n，有 y[n] = y[n + T]。

根据题目中给出的条件，当 n 为偶数时，y[n] = x[n/2]；当 n 为奇数时，y[n] = 0。

考虑偶数序列 n1, n2, n3, ...，其中 n1 < n2 < n3 < ... 为偶数。假设存在一个正周期 T，使得 y[n] = y[n + T] 对于所有 n 成立。

根据题目中的定义，当 n 是偶数时，y[n] = x[n/2]。而根据周期性的假设，我们有 y[n + T] = x[(n + T)/2]。

由于 x[n] 是一个周期信号，所以有 x[n/2] = x[(n + T)/2]。结合以上两个等式，我们可以得到 y[n] = y[n + T] 对于所有偶数 n 成立。

现在考虑奇数序列 m1, m2, m3, ...，其中 m1 < m2 < m3 < ... 为奇数。根据题目中的定义，当 n 是奇数时，y[n] = 0。

由于 T 是一个正周期，所以对于任意奇数 m，我们有 m = (m - 1) + 1。而根据周期性的假设，我们有 y[m] = y[m - 1]。

由于 m - 1 是偶数，根据前面的推导，我们有 y[m - 1] = y[(m - 1) + T]。结合以上两个等式，我们可以得到 y[m] = y[m + T] 对于所有奇数 m 成立。

综上所述，我们可以得出结论：如果 x[n] 是一个周期信号，并且对应的周期为 T，那么根据题目中给出的条件，y[n] 也是一个周期信号，其周期仍为 T。

相关问题

我们有 y[m - 1] = y[(m - 1) + T],然后呢 怎么得出奇数情况下y也是周期函数的？

非常抱歉，我的回答有误。您是正确的，我在之前的解释中犯了一个错误。对于奇数情况下的周期性还需要进一步证明。

根据题目的定义，当 n 是奇数时，y[n] = 0。我们需要证明对于任意奇数 n，存在一个正周期 T，使得 y[n] = y[n + T]。

考虑奇数序列 m1, m2, m3, ...，其中 m1 < m2 < m3 < ... 为奇数。假设存在一个正周期 T，使得 y[n] = y[n + T] 对于所有 n 成立。

对于任意奇数 m，我们有 m = (m - 1) + 1。根据周期性的假设，我们有 y[m] = y[m - 1]。

现在我们考虑 m - 1。由于 m - 1 是偶数，根据之前的推导，我们已经证明了对于任意偶数 n，有 y[n] = y[n + T]。因此，我们可以得到 y[m - 1] = y[(m - 1) + T]。

综上所述，我们可以得出结论：对于任意奇数 m，存在一个正周期 T，使得 y[m] = y[m + T]。因此，y[n] 也是一个周期信号，其周期为 T。

非常抱歉之前的错误回答给您带来的困惑。感谢您的指正。

为啥 y[m] = y[m-1]

非常抱歉，我的回答有误。对于奇数的情况，y[m] 不等于 y[m-1]，而是等于 0。感谢您的指正。

对于奇数序列 m1, m2, m3, ...，其中 m1 < m2 < m3 < ... 为奇数。根据题目中的定义，当 n 是奇数时，y[n] = 0。

由于 T 是一个正周期，所以对于任意奇数 m，我们有 m = (m - 1) + 1。而根据题目中的条件，我们有 y[m] = 0。

由于 m - 1 是偶数，根据之前的推导，我们有 y[m - 1] = y[(m - 1) + T]。

综上所述，我们可以得出结论：如果 x[n] 是一个周期信号，并且对应的周期为 T，那么根据题目中给出的条件，y[n] 也是一个周期信号，其周期仍为 T。对于奇数 n，y[n] 均为 0。非常抱歉之前的错误回答给您带来的困惑。谢谢您的指正。