u是一个三维向量场，在直角坐标系下，求证-△u＝▽×▽×u-▽(▽·u)

为了证明这个恒等式，我们可以按照以下步骤进行：

1. 首先，我们可以将拉普拉斯算子（△）应用到向量场 u 上，得到：

-△u = -∇²u = -(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)

2. 接下来，我们可以将向量场 u 表示成标量函数的梯度和旋度的和：

u = ∇φ + ∇×A

其中，φ 是一个标量函数，A 是一个矢量函数。

3. 现在，我们可以将上面的式子代入拉普拉斯算子的表达式中，得到：

-△u = -∇²u = -∇²(∇φ + ∇×A)

4. 我们可以使用分配律和拉普拉斯算子的性质，将上式展开为：

-△u = -∇²(∇φ) - ∇²(∇×A)

5. 对于第一项，我们可以使用矢量恒等式：∇×(∇×u) = ∇(∇·u) - ∇²u，得到：

-∇²(∇φ) = -∇×(∇×∇φ) = -∇×0 = 0

因为标量函数的梯度的旋度为零。

6. 对于第二项，我们可以使用矢量恒等式：∇×(∇×u) = ∇(∇·u) - ∇²u，得到：

-∇²(∇×A) = -∇×(∇×A) = ∇(∇·A) - ∇²A

7. 我们可以进一步展开第一项，使用梯度的定义和向量运算的性质，得到：

∇(∇·A) = ∇(∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z) = (∇²A)x + (∇²A)y + (∇²A)z

8. 我们可以将第二项重新表示为向量场 A 的旋度，使用矢量恒等式：∇×(∇×u) = ∇(∇·u) - ∇²u，得到：

-∇²(∇×A) = -∇×(∇×A) = -∇×(∇φ + ∇×A) + ∇×∇φ

因为梯度的旋度为零。

9. 将第一项和第二项代入最开始的式子，得到：

-△u = 0 + ∇×(-∇×(∇φ + ∇×A) + ∇×∇φ)

10. 我们可以使用向量运算的性质，将式子中的叉积展开为：

∇×(-∇×(∇φ + ∇×A) + ∇×∇φ) = ∇(∇·(∇φ + ∇×A)) - ∇²(∇φ + ∇×A) - ∇×∇×∇φ

11. 我们可以使用标量函数的梯度和旋度的性质，将第一项展开为：

∇(∇·(∇φ + ∇×A)) = ∇(∇²φ + ∇·∇×A) = ∇²(∇φ) + ∇²(∇×A)

因为标量函数的梯度的散度为拉普拉斯算子作用于该标量函数。

12. 我们可以使用矢量恒等式：∇×(∇×u) = ∇(∇·u) - ∇²u，将第三项展开为：

-∇×∇×∇φ = -∇(∇²φ) + ∇²(∇φ)

13. 将第一项、第二项和第三项代入式子中，我们得到：

-△u = ∇²(∇φ) + ∇²(∇×A) - ∇(∇²φ + ∇·∇×A) + ∇(∇²φ) - ∇²(∇φ)

14. 我们可以使用向量运算的性质，将第一项和第五项合并为一项：

-△u = ∇²(∇φ + ∇×A) - ∇(∇²φ + ∇·∇×A) - ∇²(∇φ + ∇×A)

15. 最后，我们可以将式子中的第一项和第三项合并，得到：

-△u = ∇×(∇×(∇φ + ∇×A)) - ∇(∇²φ + ∇·∇×A)

因此，我们证明了恒等式：-△u = ∇×(∇×u) - ∇(∇·u)。