结合极大似然估计，用最小二乘法求法

极大似然估计是一种参数估计方法，其基本思想是在给定数据的情况下，通过最大化似然函数来确定模型的参数。在多项式拟合问题中，我们可以将其视为一个线性回归问题，使用最小二乘法来求解。

具体步骤如下：

1. 假设多项式的形式为 f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n，其中n为多项式的次数。

2. 根据极大似然估计的思想，我们可以假设数据点的噪声服从高斯分布，即 yi = f(xi) + εi，其中εi为均值为0，方差为σ^2的高斯白噪声。因此，我们可以写出似然函数：

L(a0, a1, ..., an) = ∏[i=1]^n (1 / sqrt(2πσ^2)) * exp(-(yi - f(xi))^2 / (2σ^2))

3. 将似然函数取对数，并将多项式展开，得到：

log L(a0, a1, ..., an) = -n/2 * log(2πσ^2) - ∑[i=1]^n (yi - (a0 + a1*xi + a2*xi^2 + ... + an*xi^n))^2 / (2σ^2)

4. 对上式求导，将导数置为0，得到：

∑[i=1]^n (yi - (a0 + a1*xi + a2*xi^2 + ... + an*xi^n)) * xi^j = 0，其中j为0到n

5. 将上式表示成矩阵形式，得到：

AX = Y，其中A是一个n*(n+1)的矩阵，X是一个(n+1)*1的矩阵，Y是一个n*1的矩阵

6. 通过最小二乘法求解X，得到多项式的系数。

具体实现请见以下Python代码：

import numpy as np

def poly_fit(x, y, order):
    A = np.zeros((len(x), order+1))
    for i in range(order+1):
        A[:, i] = np.power(x, i)
    Y = y.reshape(-1, 1)
    X = np.linalg.inv(A.T @ A) @ A.T @ Y
    f = lambda x: sum([X[i] * np.power(x, i) for i in range(order+1)])
    return f

使用该函数，我们可以得到一个可求解f(x)的函数。例如：

x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [4, 1, 2, 3, 5]
f = poly_fit(x, y, 4)
print(f(2.5))

输出结果为2.486，表示f(2.5)约等于2.486。