x,y均趋近于0时,sin x/xy的结果是多少?
时间: 2023-06-08 13:08:29 浏览: 59
当 x 和 y 均趋近于 0 时,分母的值也趋近于 0,此时无法使用代数方法来求解。我们可以转化为极限的形式,即 lim(x->0,y->0) sin x/xy。通过极限的求解,可以得到该函数的极限值为 1。
相关问题
x趋近于0时,sin1/x为什么没有极限值
A:当自变量x趋近于0时,sin(1/x)会在无限个等距的间隔里震荡,取遍[-1,1]之间的所有值。因此,它没有极限值。这是因为对于任何给定的值L,都可以找到足够接近于0的x使得sin(1/x)的取值在[L-ε, L+ε]之间,其中ε是任意小的正实数。因此,sin(1/x)不存在极限。
x,y趋近于0(1+xy)^(1/x+y)的极限
这是一个典型的极限问题,可以使用自然对数和泰勒公式来求解。具体步骤如下:
首先将原式取对数,得到ln[(1+xy)^(1/(x+y))],然后使用ln(a^b)=b*ln(a)的性质,将指数提取出来,得到(1/(x+y))*ln(1+xy)。
接下来,将ln(1+xy)在x=0处进行泰勒展开,得到ln(1+xy)=xy-x^2*y^2/2+O(x^3),代入原式中,得到极限lim(x,y->0)(1/(x+y))*(xy-x^2*y^2/2+O(x^3))。
化简得到lim(x,y->0)(1/2)*(x^2*y-y^2*x),再使用极坐标系下的极限求解方法,令x=r*cosθ,y=r*sinθ,则原式可以转化为lim(r->0)(r^2*cosθ*sinθ*cosθ-sinθ*cosθ*sinθ),化简得到lim(r->0)(-1/2)*r^2*sin^2(2θ)。
由于sin^2(2θ)的取值范围在[0,1]之间,因此当r趋近于0时,原式的极限为0。
因此,原式的极限为0。
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