详细解释下0-1背包问题动态规划序偶对方法

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，它的问题描述为：有一个固定大小的背包，和一些物品，每个物品有一个价值和重量，在保证背包不超重的前提下，如何选择物品装入背包使得背包内物品的总价值最大。

解决这个问题的常见方法是使用动态规划。其中，序偶对方法是一种常用的求解方法。

序偶对方法将背包问题的解分成两个部分：最后一个物品是否装入背包和最优解对应的物品集合。因此，状态转移方程可表示为：

1. 如果第i个物品不放进背包，则最优解为前i-1个物品的最优解，即V(i,w) = V(i-1,w)；
2. 如果第i个物品放进背包，则最优解为前i-1个物品放入w-wi容量的背包中的最优解再加上第i个物品的价值，即V(i,w) = V(i-1,w-wi) + vi。

最终，我们可以通过填充一个二维数组V来得到问题的最优解。

需要注意的是，序偶对方法在计算状态转移方程时需要考虑物品的顺序，因此在计算时需要按照物品的重量或者价值进行排序。

相关问题

设0/1背包问题实例(w1,w2,w3,w4)=(10,15,6,9), (p1,p2,p3,p4)=(2,5,8,1)，M=35，求函数阶跃点的序偶集合（0≤i≤4），并给出决策序列。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设f[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中能够得到的最大价值，则状态转移方程为：

f[i][j] = max{f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + p[i]}，其中w[i]表示第i个物品的重量，p[i]表示第i个物品的价值。

根据状态转移方程，我们可以逐步计算f[i][j]的值。具体地，我们可以先计算出f[0][0...M]的值，然后依次计算f[1][0...M]、f[2][0...M]、f[3][0...M]、f[4][0...M]的值。

计算过程如下表所示：

| i\j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 8 | 8 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 8 | 8 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 |

我们可以看到，当j=2时，f[1][2]发生了变化，因此(1,2)是函数阶跃点之一；当j=5时，f[2][5]发生了变化，因此(2,5)是函数阶跃点之一；当j=10时，f[3][10]发生了变化，因此(3,10)是函数阶跃点之一；当j=11时，f[4][11]发生了变化，因此(4,11)是函数阶跃点之一。

决策序列为：(4,11)→(3,10)→(2,5)→(1,2)→(0,0)。

写出求传递闭包的warshall 算法，某关系的序偶为 R=1≤12-,-1,4-,<1,5-,-2,1>，<2,3-,-3,4-,-3,5-,-4,1>,<4,3>，$3,4,<3.2-,<5;52)，求此关系的传递闭包与对称递包，必须给出计算步骤，最后给出等价类。

Warshall算法是一种用于求解有向图传递闭包的经典算法，其基本思想是通过矩阵运算来快速计算出图的传递闭包。具体而言，Warshall算法可以通过以下步骤来计算有向图G的传递闭包：

1. 构建一个邻接矩阵A，其中A[i][j]为1表示存在一条从i到j的有向边，为0表示不存在这样的有向边。

2. 对于任意的i、j和k，如果A[i][j]=1且A[j][k]=1，则将A[i][k]设为1，表示存在一条从i到k的路径。

3. 重复上一步骤，直到A中的所有元素都不再变化为止。

以下是使用Warshall算法计算传递闭包的具体步骤：

1. 首先，根据给定的序偶，可以构造出一个邻接矩阵A，其中A[i][j]表示从i到j是否存在一条有向边。

        1   2   3   4   5
     1  1   0   0   1   0
     2  0   0   1   1   1
     3  0   0   0   0   1
     4  0   0   1   0   0
     5  0   0   0   0   0

2. 接着，按照Warshall算法的步骤，对邻接矩阵A进行运算，计算出其传递闭包B。

        1   2   3   4   5
     1  1   0   0   1   0
     2  1   0   1   1   1
     3  0   0   0   0   1
     4  0   0   1   0   0
     5  0   0   0   0   0

3. 最后，根据传递闭包B，可以计算出该关系的等价类，具体方法是将B转化为一个有向图，并对其进行拓扑排序，得到的每个强连通分量即为一个等价类。在这个例子中，对B进行拓扑排序后得到的强连通分量为{1,4}和{2,3,5}，因此该关系的等价类为{{1,4},{2,3,5}}。

接下来，我们来计算该关系的对称递包。对称递包的计算方法是将关系R和它的逆关系R^(-1)取并集，并进行传递闭包运算。这里的逆关系指的是将R中的所有序偶的元素交换位置得到的关系。例如，序偶<1,5>的逆关系为<5,1>。

1. 首先，将关系R和它的逆关系R^(-1)合并得到关系S。

        1   2   3   4   5
     1  1   0   0   1   1
     2  0   0   1   1   1
     3  0   0   0   0   1
     4  1   1   0   0   0
     5  1   1   1   0   0

2. 然后，对关系S进行传递闭包运算，得到其对称递包T。

        1   2   3   4   5
     1  1   1   1   1   1
     2  1   1   1   1   1
     3  1   1   1   1   1
     4  1   1   1   1   1
     5  1   1   1   1   1

3. 最后，对于任意的i和j，如果(T[i][j]=1且T[j][i]=1)，则(i,j)属于T的等价类，否则(i,j)不属于T的等价类。在这个例子中，T的等价类为{{1,2,4,5},{3}}。

综上所述，该关系的传递闭包为{{1,4},{2,3,5}}，对称递包为{{1,2,4,5},{3}}，其等价类分别为{{1,4},{2,3,5}}和{{1,2,4,5},{3}}。