平面四节点矩形单元质量矩阵matlab源代码

平面四节点矩形单元是一种在有限元分析中常用的元件，用于模拟平面结构的行为。质量矩阵是用于计算结构元件的质量特性的矩阵，通常由结构的密度和几何特性决定。以下是一个简单的MATLAB源代码示例，用于计算平面四节点矩形单元的质量矩阵。

function M = computeMassMatrix(rho, h, A)
    % rho: 结构的密度
    % h: 结构的厚度
    % A: 结构的面积

    % 计算单元的三个面积比例因子
    alpha = 9/(16*A);
    beta = 1/(16*A);
    gamma = 1/(8*A);
    
    % 定义平面四节点矩形单元的质量矩阵
    M = rho*h*[
        alpha, beta,  gamma, beta;
        beta,  alpha, beta,  gamma;
        gamma, beta,  alpha, beta;
        beta,  gamma, beta,  alpha
    ];
end

在这个函数中，我们先根据结构的几何特性（如面积A）计算出三个面积比例因子（alpha、beta和gamma）。然后，使用这些因子和提供的密度（rho）和厚度（h）来构建平面四节点矩形单元的质量矩阵。最后，将结果返回。

这个计算质量矩阵的函数可以作为MATLAB中模拟平面结构行为的有限元分析代码的一部分使用。传入不同的参数值，可以计算不同结构的质量矩阵，并进一步应用于结构动力学分析等领域。

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用matlab中偏微分方程数值解法：有限元法给出一个算例，程序源代码，运行结果

在MATLAB中，可以使用PDE Toolbox来解决偏微分方程(PDE)问题，其中有限元法(Finite Element Method, FEM)是一种常见的数值求解策略。下面是一个简单的二维热传导问题的有限元求解例子，假设我们要计算一块平板随时间变化的温度分布。

首先，我们需要设置一个基本的网格、边界条件和初始条件。假设我们有一个矩形区域，边界分为固定温度和自然对流边界：

% 环境设置
clear all; clc;
m = PDEModel('thermal');
pde = createpdecallback(m,@(x,y,t,u,Du) heatEquation(x,y,t,u,Du));

% 定义域和网格
L = 1; % 长度
W = 0.5; % 宽度
nElements = 10; % 网格划分数
nodes = [0 L; 0 W L W]; % 矩形边界的节点坐标
elements = delaunay(nodes); % 创建四边形单元

% 边界条件
fixedTemp = 0; % 固定温度边界
naturalConvection = 'Dirichlet'; % 自然对流边界
applyBoundaryCondition(pde,'dirichlet',fixedTemp,elemsOnBoundary);

% 初始温度分布
initialTemperature = ones(nElements,1) * 20; % 假设初温为20摄氏度

% 时间步长和总时间
dt = 0.1;
totalTime = 1;

% 设置时间步进求解
tspan = [0 totalTime];
results = solve(pde,tspan,[],[],[],initialTemperature,dt);

`heatEquation`函数用于定义热传导方程，例如：

function eqn = heatEquation(x,y,t,u,Du)
eqn = Du - k * u; % 假设k为导热系数
end

运行此代码后，`results`结构包含了解的温度值随时间和空间的变化。你可以通过`results.gridData`查看每个网格点的温度数据，或者使用`plot(results)`绘制温度随时间变化的图像。

注意：以上代码只是一个基本示例，实际应用中需要根据具体的PDE问题调整模型、边界条件和物理参数。此外，对于复杂的模型，可能需要进一步处理矩阵运算和线性代数优化，以便更高效地求解。

二维TE波CNDG-FDTD方法引入高斯源，求数值解与解析解误差，显示收敛阶并画图matlab实现

CNDG-FDTD方法是一种结合了传统的有限差分时域（FDTD）方法和Curl-Nodal Discontinuous Galerkin（CNDG）方法的求解电磁波问题的方法。在二维情况下，TE波表示电场只在z方向有分量，磁场只在x、y方向有分量。在本文中，我们将引入高斯源，并利用Matlab实现求解数值解与解析解误差、显示收敛阶并画图。

假设我们要求解的是一个长宽分别为Lx和Ly的矩形区域内的TE波。首先，我们需要将区域网格化，将整个区域划分为N_x \times N_y个小矩形，每个小矩形的长宽分别为\Delta x和\Delta y。我们假设在该区域内引入一个高斯源，其表达式为：

$$
S(x,y,t)=S_0 exp\left(-\frac{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}{2\sigma^2}\right)cos(\omega t)
$$

其中，S_0是源的振幅，(x_0,y_0)是源的位置，\sigma是源的宽度，\omega是源的频率。

接下来，我们可以利用CNDG-FDTD方法求解TE波方程：

$$
\nabla \times \nabla \times \mathbf{E} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = \mu \mathbf{J}_s
$$

其中，\mathbf{E}表示电场，\mu和\epsilon分别表示介质的磁导率和电介质常数，\mathbf{J}_s表示高斯源产生的电流密度。我们可以将该方程离散化为：

$$
\mathbf{C} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mathbf{G} \mathbf{E} = \mathbf{S}
$$

其中，\mathbf{C}和\mathbf{G}是系数矩阵，\mathbf{S}是源项矩阵。我们可以利用FDTD方法求解\mathbf{C}和\mathbf{G}，利用CNDG方法求解\mathbf{S}。

最后，我们可以利用解析解求出TE波的精确解，与数值解做比较，计算误差，并绘制误差随网格大小变化的图像，以显示收敛阶。具体实现可参考以下Matlab代码：

% 定义常数
Lx = 1; % 区域长度
Ly = 1; % 区域宽度
Nx = 100; % x方向网格数
Ny = 100; % y方向网格数
dx = Lx / Nx; % x方向网格间距
dy = Ly / Ny; % y方向网格间距
T = 1e-8; % 模拟总时间
dt = dx / sqrt(2); % 时间间隔
Nt = T / dt; % 时间步数
x = linspace(0, Lx, Nx+1); % x方向网格
y = linspace(0, Ly, Ny+1); % y方向网格
omega = 2 * pi * 1e9; % 频率
mu = pi * 4e-7; % 磁导率
epsilon = 8.85e-12; % 电介质常数
sigma = dx / 4; % 高斯源宽度
S0 = 1; % 高斯源振幅
x0 = Lx / 2; % 高斯源x方向位置
y0 = Ly / 2; % 高斯源y方向位置

% 初始化系数矩阵和源项矩阵
C = zeros(Nx*Ny, Nx*Ny);
G = zeros(Nx*Ny, Nx*Ny);
S = zeros(Nx*Ny, 1);

% 构造系数矩阵和源项矩阵
for i = 1:Nx
    for j = 1:Ny
        % 计算节点编号
        n = (j-1)*Nx + i;

        % 构造C矩阵
        if i == 1 || i == Nx || j == 1 || j == Ny
            C(n, n) = 1;
        else
            C(n, (j-2)*Nx+i) = 1/(dy*dy);
            C(n, j*Nx+i) = 1/(dy*dy);
            C(n, (j-1)*Nx+i-1) = 1/(dx*dx);
            C(n, (j-1)*Nx+i+1) = 1/(dx*dx);
            C(n, n) = -2/(dx*dx) - 2/(dy*dy);
        end

        % 构造G矩阵
        G(n, n) = mu * epsilon / (dt*dt);

        % 构造S矩阵
        xj = (i-0.5) * dx;
        yj = (j-0.5) * dy;
        r = sqrt((xj-x0)^2 + (yj-y0)^2);
        S(n) = S0 * exp(-r^2/(2*sigma*sigma)) * cos(omega*dt*Nt);
    end
end

% 求解电场
E = zeros(Nx*Ny, Nt);
E(:, 1) = 0;
E(:, 2) = dt * inv(C) * (S - G * E(:, 1));

for n = 3:Nt
    E(:, n) = inv(C) * (2*S - G * E(:, n-1) - E(:, n-2));
end

% 计算解析解
E_analytical = zeros(Nx, Ny, Nt);
for n = 1:Nt
    for i = 1:Nx
        for j = 1:Ny
            xj = (i-0.5) * dx;
            yj = (j-0.5) * dy;
            r = sqrt((xj-x0)^2 + (yj-y0)^2);
            E_analytical(i, j, n) = S0 * exp(-r^2/(2*sigma*sigma)) * cos(omega*dt*n);
        end
    end
end

% 计算误差
error = zeros(1, Nt);
for n = 1:Nt
    error(n) = norm(E(:, n) - reshape(E_analytical, Nx*Ny, Nt)(:, n));
end

% 计算收敛阶
order = log(error(2:end)./error(1:end-1))/log(sqrt(dx*dx+dy*dy));
order = [order(1) order];

% 绘制误差随时间变化图像
figure;
plot(dt*(0:Nt-1), error);
xlabel('时间（秒）');
ylabel('误差');

% 绘制误差随网格大小变化图像
figure;
loglog(sqrt(dx*dx+dy*dy).^(1:Nt), error);
xlabel('网格大小');
ylabel('误差');

% 绘制收敛阶随时间变化图像
figure;
plot(dt*(1:Nt), order);
xlabel('时间（秒）');
ylabel('收敛阶');

需要注意的是，本文中的TE波方程是在时域中求解的，因此需要将频率离散化为角频率，并在源项中加入cos(\omega t)项。此外，我们还需要注意在计算解析解时的节点位置和电场方向。