圆波导内嵌一个介质窗片表面有电荷积聚时的格林函数
时间: 2024-05-21 09:15:34 浏览: 13
圆波导内嵌介质窗片表面有电荷积聚时的格林函数可以通过电磁场的边界条件求解得到。
假设圆波导内嵌介质窗片的表面电荷密度为$\rho_s(\textbf{r})$,则其产生的电场可以表示为:
$$
\textbf{E}(\textbf{r})=\int_S G(\textbf{r},\textbf{r}')\rho_s(\textbf{r}')ds'
$$
其中,$G(\textbf{r},\textbf{r}')$为格林函数,$S$为介质窗片的表面。
由于圆波导内部为均匀介质,可以采用分离变量法求解。设电场的垂直分量为$E_z(z)$,则其满足的波动方程为:
$$
\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}+\kappa^2E_z=0
$$
其中,$\kappa=\sqrt{\omega^2\mu\epsilon-\beta^2}$为波数,$\beta$为圆波导中的传播常数。在介质窗片表面,根据电场的边界条件,有:
$$
\textbf{n}\times(\textbf{E}_1-\textbf{E}_2)=\frac{\sigma_s}{\epsilon}
$$
其中,$\textbf{E}_1$和$\textbf{E}_2$分别为介质窗片两侧的电场,$\sigma_s$为介质窗片表面的电荷密度,$\textbf{n}$为介质窗片表面的法向量。
将电场分解为垂直和平行两个分量,可以得到:
$$
E_z(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(A_nJ_n(\kappa\rho)+B_nY_n(\kappa\rho))cos(n\phi)exp(-j\beta z)
$$
其中,$J_n$和$Y_n$为第一类和第二类贝塞尔函数,$A_n$和$B_n$为待定系数。
将电场的表面边界条件代入,可以得到:
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{\infty}(A_nJ_n(\kappa\rho)+B_nY_n(\kappa\rho))cos(n\phi)&=\frac{\sigma_s}{2\pi\epsilon}\int_0^{2\pi}G(\textbf{r},\textbf{r}')cos(n\phi')d\phi' \\
&=\frac{\sigma_s}{2\pi\epsilon}\int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}G(\textbf{r},\textbf{r}')cos(n\phi')\rho'd\rho'd\phi'
\end{aligned}
$$
其中,$G(\textbf{r},\textbf{r}')$可以表示为:
$$
G(\textbf{r},\textbf{r}')=-\frac{1}{4\pi}\frac{e^{-j\beta|\textbf{r}-\textbf{r}'|}}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|}
$$
最终,可以利用待定系数法求解$A_n$和$B_n$,从而得到格林函数$G(\textbf{r},\textbf{r}')$。