运用PCA与SVD算法实现降维

PCA (Principal Component Analysis) 和 SVD (Singular Value Decomposition) 都是用于数据降维的重要数学工具，在机器学习和数据分析中广泛应用。它们都可以帮助我们在高维空间中找到关键特征，减少数据的复杂性和计算成本。

**PCA（主成分分析）**：
1. **基本原理**：PCA通过线性变换将原始数据投影到一组新的坐标轴上，新轴的方向对应数据方差最大的方向。通过保留主要的特征方向（即主成分），我们可以丢弃那些对数据解释度不大的维度。
2. **SVD的应用**：实际上，PCA可以通过SVD来实现，因为数据矩阵（中心化后）的SVD分解会产生正交的左奇异向量作为新坐标轴，而这些向量对应的奇异值代表了信息的重要性。
3. **降维步骤**：计算数据的协方差矩阵，然后做SVD分解得到UΣVT。前k个主成分对应矩阵U的前k列，降维后的数据就是这k列对应的原始数据乘积。

**SVD（奇异值分解）**：
1. **直接应用**：SVD本身就是将一个矩阵分解为三个部分：UΣV^T，其中U和V是对称正交矩阵，Σ是对角矩阵，包含的是数据的奇异值。奇异值反映了数据的“能量”或“影响力”。
2. **降维与重构**：SVD可用于降维，选择前k个最大的奇异值和对应的左/右奇异向量，仅使用这部分信息就可以重建近似的原始数据，从而达到降维效果。
3. **SVD与PCA的关系**：当处理标准化的数据时，SVD与PCA的结果相同。SVD提供了一种更通用的框架，但PCA在解释性上有优势，因为它构造的新坐标是根据数据的方差。

**相关问题--:**
1. PCA如何选择保留多少维度？
2. SVD降维在实际应用中的优势是什么？
3. 如何利用SVD进行数据的压缩存储？