matlab正交最小二乘法

### 正交最小二乘法简介

正交最小二乘法（OLS, Orthogonal Least Squares）是一种用于线性模型参数估计的方法，其目标是最小化观测值与预测值之间的误差平方和。这种方法广泛应用于统计建模、信号处理等领域。

在 MATLAB 中实现 OLS 主要涉及构建设计矩阵并求解正规方程组来获得最优参数向量 \(\beta\)。下面提供了一个简单的例子说明如何利用 MATLAB 实现这一过程[^1]：

% 生成模拟数据
clear; clc;
N = 100; % 数据点数量
X = linspace(0, 10, N); % 自变量范围
T = sin(X) + randn(size(X)) * 0.1; % 添加噪声的目标函数 y=sin(x)

% 构造输入矩阵 X 和输出向量 T
phi = @(x)[ones(length(x), 1), x', (x.^2)', (x.^3)']; % 基础函数定义
Phi = phi(X);

% 使用 Moore-Penrose 广义逆计算权重 w
W = Phi / T';

% 预测新样本的结果
Y_pred = W' * Phi;

% 绘制原始数据及拟合曲线
figure();
plot(X, T, 'o'); hold on;
plot(X, Y_pred, '-r');
legend('Data Points', 'Fitted Curve');
title('Orthogonal Least Square Regression Example');
xlabel('Input Variable X');
ylabel('Output Value Y');
grid on;

这段代码展示了怎样通过构造多项式基底的方式来进行一维回归分析，并绘制了相应的图形表示。这里采用的是广义逆运算 `pinv()` 来代替直接求解 \( (\Phi^{\top}\Phi)^{-1} \cdot \Phi^\top t \)，因为后者可能遇到数值不稳定的情况。

对于更复杂的多维情况或是特定应用场景下的改进版本，则可以根据具体需求调整上述框架中的细节部分。