matlab用正交多项式作最小二乘法拟合

在MATLAB中，可以使用“polyfit”函数进行最小二乘拟合，其中可以选择使用正交多项式进行拟合。以下是一个示例代码，使用正交多项式进行二次拟合：

% 生成数据
x = linspace(-1,1,50);
y = x.^2 + 0.1*randn(size(x));

% 使用正交多项式进行二次拟合
p = polyfit(x,y,2);

% 生成拟合曲线
x_fit = linspace(-1,1,100);
y_fit = polyval(p,x_fit);

% 绘制原始数据和拟合曲线
plot(x,y,'o',x_fit,y_fit)

在上述代码中，我们使用了“polyfit”函数进行二次拟合，其中第三个参数“2”表示使用二次多项式进行拟合。如果想使用正交多项式进行拟合，可以使用“polyfit”函数的第四个参数，例如：

% 使用正交多项式进行二次拟合
p = polyfit(x,y,2,'orth');

在上述代码中，我们通过在“polyfit”函数中添加“'orth'”参数来选择使用正交多项式进行拟合。

相关问题

正交多项式最小二乘法拟合曲线

### 使用正交多项式的最小二乘法拟合曲线

#### 方法介绍

正交多项式是目前被认为是最优的多项式拟合方法之一。这种方法不需要通过解线性方程组来获得系数，而是利用递推公式直接计算正交多项式[^2]。

对于给定的数据集 \( x = [x_0, x_1, \ldots, x_m] \) 和对应的观测值 \( y = [y_0, y_1, \ldots, y_m] \)，可以使用 MATLAB 函数 `polyfit` 来执行基于正交多项式的最小二乘拟合。该函数接受两个数组作为输入参数并返回一个表示次数为 n 的多项式 p(x) 的系数向量 p，其中 p 中的系数按照降幂顺序排列，其长度为 n + 1。

#### 实现过程

下面是一个简单的 Python 示例，展示如何应用 SciPy 库中的 `orthogonal` 模块来进行正交多项式拟合：

import numpy as np
from scipy.special import eval_legendre
from numpy.polynomial.legendre import legvander

def orthogonal_least_squares_fit(x_data, y_data, degree):
    vandermode_matrix = legvander(x_data, degree)
    
    # 计算权重矩阵 W 及其转置 WT
    weights = np.linalg.inv(vandermode_matrix.T @ vandermode_matrix)

    # 获取最终的系数向量 a
    coefficients = (weights @ vandermode_matrix.T) @ y_data
    
    return coefficients

# 测试数据点
x_test = np.array([0, 1, 2, 3])
y_test = np.array([-1, 0.5, 0.7, 1])

degree_of_polynomial = 2
coefficients_result = orthogonal_least_squares_fit(x_test, y_test, degree_of_polynomial)

print(f"Coefficients of the fitted polynomial are {coefficients_result}")

此代码片段定义了一个名为 `orthogonal_least_squares_fit` 的函数，它接收三个参数：自变量列表 `x_data`、因变量列表 `y_data` 和所需多项式的阶数 `degree`。这个例子中还包含了测试用的数据点以及调用上述函数的过程，最后打印出了所得到的多项式系数。

用正交多项式作最小二乘拟合matlab

在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数和`polyval`函数来进行基于正交多项式的最小二乘拟合。正交多项式是一种特殊的多项式，它们彼此之间相互正交，这有助于提高拟合精度和减少噪声的影响。

1. **步骤**:
- 首先，你需要准备一组数据，通常是一个向量表示自变量x的数据点，以及对应的因变量y的数据点。

   x = ...; % 输入数据（自变量）
   y = ...; % 对应的因变量数据

2. **使用`polyfit`**:
`polyfit`函数用于找到给定数据集的最优正交多项式系数。例如，如果你想拟合一个二次函数，你可以这样做：

   p = polyfit(x, y, 2); % 第2次多项式拟合

这将返回一个包含多项式系数的向量p。

3. **评估拟合结果**:
使用`polyval`函数，传入`p`和新的自变量值`xx`，得到拟合曲线的值：

   xx = linspace(min(x), max(x)); % 创建一个新的自变量范围
   y_fit = polyval(p, xx);

4. **可视化**:
可以用`plot`函数绘制原始数据和拟合曲线：

   plot(x, y, 'o', xx, y_fit, '-')
   xlabel('x')
   ylabel('y')
   legend('Data Points', 'Fitted Curve')