MATLAB曲线拟合：正交多项式拟合，解决高次拟合问题

# 1. MATLAB曲线拟合简介

MATLAB曲线拟合是一种强大的工具，用于通过数学函数近似一组给定数据点。它广泛应用于各种领域，包括科学、工程和金融。MATLAB提供了多种曲线拟合方法，包括多项式拟合、正交多项式拟合和非线性拟合。

在本章中，我们将介绍MATLAB曲线拟合的基本概念和原理。我们将讨论不同类型的曲线拟合方法及其优缺点。此外，我们将提供MATLAB代码示例，以展示如何使用MATLAB进行曲线拟合。

# 2. 正交多项式拟合原理

### 2.1 正交多项式的概念和性质

**正交多项式**是一组在特定区间上正交的多项式，即对于不同的下标 `i` 和 `j`，有：

∫[a, b] w(x) P_i(x) P_j(x) dx = 0,  i ≠ j

其中，`w(x)` 是正交多项式的权函数，`a` 和 `b` 是正交多项式的正交区间。

正交多项式具有以下性质：

* **线性无关：** 任意两个不同的正交多项式线性无关。
* **正交性：** 在正交区间上，不同的正交多项式正交。
* **完备性：** 正交多项式在正交区间上构成一个完备的函数系，即任何在正交区间上连续的函数都可以用正交多项式展开。

### 2.2 正交多项式拟合的数学模型

正交多项式拟合的数学模型如下：

f(x) ≈ a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + ... + a_n P_n(x)

其中，`f(x)` 是被拟合函数，`P_i(x)` 是第 `i` 个正交多项式，`a_i` 是拟合系数。

拟合系数 `a_i` 可以通过以下公式计算：

a_i = (∫[a, b] w(x) f(x) P_i(x) dx) / (∫[a, b] w(x) P_i(x)^2 dx)

正交多项式拟合的目的是找到一组拟合系数 `a_i`，使得拟合函数 `f(x)` 尽可能接近被拟合函数。

# 3. 正交多项式拟合实践

### 3.1 正交多项式拟合的MATLAB实现

正交多项式拟合在MATLAB中可以通过`polyfit`函数实现。该函数采用最小二乘法，根据给定的数据点拟合一个指定阶数的多项式。

% 给定数据点
x = [0, 1, 2, 3, 4];
y = [1, 2, 5, 10, 17];

% 拟合一个3阶正交多项式
p = polyfit(x, y, 3);

% 拟合结果
disp("拟合多项式系数：");
disp(p);
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