MATLAB曲线拟合：非线性拟合，探索复杂数据规律

# 1. MATLAB曲线拟合概述

曲线拟合是一种数学建模技术，用于根据一组数据点找到一条最佳拟合曲线。在MATLAB中，曲线拟合提供了强大的工具，可以对复杂的数据规律进行建模和分析。

MATLAB的曲线拟合功能包括：

- **非线性拟合：**用于拟合非线性关系的数据，如指数、对数和多项式模型。
- **线性拟合：**用于拟合线性关系的数据，如直线和平面。
- **参数优化：**用于优化拟合参数，以获得最佳拟合。
- **拟合优度评估：**用于评估拟合模型的准确性和可靠性。

# 2. 非线性曲线拟合理论

### 2.1 非线性回归模型

非线性回归模型是用于拟合非线性关系的数据的统计模型。与线性回归不同，非线性回归模型的因变量和自变量之间的关系不是线性的。相反，它们遵循更复杂的非线性函数。

非线性回归模型的一般形式为：

y = f(x, β) + ε

其中：

* y 是因变量
* x 是自变量
* β 是模型参数
* ε 是误差项

常见的非线性回归模型包括：

* 多项式回归
* 指数回归
* 对数回归
* 幂律回归
* 高斯回归

### 2.2 最小二乘法原理

最小二乘法原理是用于估计非线性回归模型参数的一种方法。该原理的目标是找到一组参数 β，使模型预测值与观测值之间的残差平方和最小。

残差平方和定义为：

RSS = Σ(y_i - f(x_i, β))^2

其中：

* y_i 是第 i 个观测值的因变量
* x_i 是第 i 个观测值的自变量
* f(x_i, β) 是模型在 x_i 处的预测值

最小化 RSS 的参数 β 可以通过以下优化算法获得：

* 梯度下降法
* 牛顿法
* 共轭梯度法

### 2.3 拟合优度评价指标

为了评估非线性回归模型的拟合优度，可以使用以下指标：

* **决定系数 (R^2)**：衡量模型解释数据变异的程度，范围为 0 到 1。
* **均方根误差 (RMSE)**：衡量预测值与观测值之间的平均误差。
* **平均绝对误差 (MAE)**：衡量预测值与观测值之间的平均绝对误差。
* **最大绝对误差 (MAE)**：衡量预测值与观测值之间最大的绝对误差。

这些指标可以帮助选择最能拟合数据的模型，并评估模型的预测能力。

# 3. 非线性曲线拟合实践

### 3.1 MATLAB非线性拟合函数

MATLAB提供了丰富的非线性拟合函数，涵盖了各种常见的拟合模型，如多项式拟合、指数拟合、高斯拟合等。这些函数使用统一的语法，方便用户调用和使用。

% 多项式拟合
p =