MATLAB曲线拟合：局部加权回归，探索局部数据规律

# 1. 曲线拟合概述**

曲线拟合是一种通过数学模型描述数据集中点之间关系的技术。它广泛应用于科学、工程和金融等领域，用于从数据中提取有意义的见解和预测未来趋势。

曲线拟合的目标是找到一条曲线，该曲线可以最准确地表示数据点的分布。常用的曲线拟合方法包括线性回归、多项式回归和局部加权回归（LWR）。

# 2. 局部加权回归（LWR）理论

### 2.1 局部加权回归的基本原理

局部加权回归（LWR）是一种非参数回归方法，它通过为每个数据点分配权重，然后使用加权最小二乘法拟合局部模型来估计目标函数。LWR的基本原理如下：

给定一组数据点 $(x_i, y_i), i = 1, 2, ..., n$，LWR的目标是估计目标函数 $f(x)$，使得：

y_i = f(x_i) + \epsilon_i

其中 $\epsilon_i$ 是误差项。

LWR通过为每个数据点分配权重 $w_i$ 来估计局部模型：

w_i = \exp\left(-\frac{(x_i - x)^2}{h^2}\right)

其中 $h$ 是带宽参数，控制权重的衰减速率。

然后，使用加权最小二乘法拟合局部模型：

\hat{f}(x) = \arg\min_{\hat{f}} \sum_{i=1}^n w_i (y_i - \hat{f}(x_i))^2

### 2.2 加权函数的选择和影响因素

加权函数的选择对LWR的性能有很大影响。常用的加权函数包括：

- **高斯核函数：**最常用的加权函数，它产生平滑的权重分布。
- **三角形核函数：**产生线性衰减的权重分布，对异常值更鲁棒。
- **Epanechnikov核函数：**介于高斯核函数和三角形核函数之间，具有良好的局部拟合能力。

带宽参数 $h$ 控制权重的衰减速率。较小的 $h$ 值产生更局部的拟合，而较大的 $h$ 值产生更平滑的拟合。选择合适的 $h$ 值至关重要，因为它影响模型的偏差和方差。

**代码块：**

% 导入数据
data = load('data.mat');
x = data.x;
y = data.y;

% 设置带宽参数
h = 0.5;

% 使用高斯核函数拟合局部模型
model = fitlm(x, y, 'linear', 'Weights', exp(-(x - x).^2 / h^2));

% 绘制拟合曲线
plot(x, y, 'o');
hold on;
plot(x, model.Fitted, 'r-');
legend('数据点', '拟合曲线');

**代码逻辑分析：**

1. 导入数据并设置带宽参数。
2. 使用高斯核函数拟合局部模型，其中 `fitlm` 函数用于拟合线性模型，`Weights` 参数指定权重函数。
3. 绘制拟合曲线和原始数据点。

# 3. LWR在MATLAB中的实现**

### 3.1 局部加权回归函数的调用**

MATLAB中提供了`locfit`函数用于进行局部加权回归。该函数的语法如下：